Raíz cuadrada de un negativo
En teoría, no se define la raíz cuadrada de un número negativo ya que ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo.
No obstante, esto representa un inconveniente en algunas situaciones matemáticas, lo que lleva a la introducción de los números imaginarios.
La unidad imaginaria se designa como \( i \) y se define como la raíz cuadrada de -1: \( i = \sqrt{-1} \).
Por tanto, el cuadrado de la unidad imaginaria resulta ser -1: \( i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1 \).
Con la introducción del número imaginario \( i \), es posible trabajar con raíces cuadradas de números negativos, aprovechando la propiedad del producto de raíces.
Veamos algunos ejemplos:
- Raíces cuadradas de -4: \( \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = \pm 2 \cdot i = \pm 2i \)
- Raíces cuadradas de -25: \( \sqrt{-25} = \sqrt{25 \cdot (-1)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{-1} = \pm 5 \cdot i = \pm 5i \)
Observad que, entonces, sí existen números cuyo cuadrado es negativo: los números imaginarios.
Por ejemplo, \( (5i)^2 = 5^2 \cdot i^2 = 25 \cdot (-1) = -25 \).
Los números imaginarios, como cualquier número, admiten operaciones de suma y resta:
- \( 3i + 2i = 5i \)
- \( 3i – 2i = i \)
Y también de multiplicación y división:
- \( 2i \cdot 3i = 2 \cdot 3 \cdot i^2 = 6 \cdot (-1) = -6 \)
Nota: hemos escrito \( i \) como una raíz y aplicado la propiedad del cuadrado de una raíz cuadrada.
En una lección posterior, profundizaremos en los números imaginarios y sus propiedades.