¿Qué es una raíz matemática?
La raíz de un número es otro número que, al multiplicarse por sí mismo una cantidad de veces (el índice de la raíz), nos da como resultado el número original.
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16, denotada como \( \sqrt{16} \), es 4, porque \( 4 \times 4 = 16 \). Del mismo modo, la raíz cúbica de 8, denotada como \( \sqrt[3]{8} \), es 2, ya que \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
Cuando se habla de raíz cuadrada, se busca un número que, multiplicado por sí mismo una vez, da como resultado el número original. De manera similar, una raíz cúbica de un número es un número que, al multiplicarse por sí mismo dos veces (es decir, al elevarse al cubo), resulta en el número original. Este concepto se extiende a raíces de índices superiores, que corresponden al número de veces que el número raíz se multiplica por sí mismo para alcanzar el número original.
Componentes de la Raiz
Una raíz matemática se compone de las siguientes partes:
RAÍZ
\( \sqrt[a]{b} \) ⟶ Se lee: la raíz cuadrada de \( a \) es igual a \( b \).
- Radicando: Es el número bajo el signo de raíz del cual se desea obtener la raíz. En la expresión \( \sqrt[n]{x} \), \( x \) representa el radicando.
- Índice: Es el número pequeño situado justo antes del signo de raíz que indica el grado de la raíz. En \( \sqrt[n]{x} \), \( n \) es el índice. Si este número no está presente, se asume que el índice es 2, indicando una raíz cuadrada.
- Signo de raíz: Es el símbolo que indica que se está realizando una operación de raíz, representado por \( \sqrt{} \) para las raíces cuadradas o \( \sqrt[n]{} \) para raíces de mayor índice.
- La Raíz: Es el resultado de la operación, es decir, el número que, elevado a la potencia del índice, nos da el radicando. Por ejemplo, en \( \sqrt[3]{8} \), la raíz es 2 porque \( 2^3 = 8 \).
Tipos de ráices
Existen diferentes tipos de raíces en función del resultado que obtenemos:
Raíces exactas
Los números cuya raíz cuadrada es un número entero se denominan cuadrados perfectos. Por ejemplo, 36, 100 y 400 son cuadrados perfectos porque sus raíces cuadradas son números enteros, como se muestra a continuación:
\( \sqrt{36} = 6 \), ya que \( 6^2 = 36 \).
\( \sqrt{100} = 10 \), puesto que \( 10^2 = 100 \).
\( \sqrt{400} = 20 \), dado que \( 20^2 = 400 \).
Raíces enteras
En muchos casos, la raíz cuadrada de un número no resulta en un número entero. En estos casos, se busca el número entero más próximo que, elevado al cuadrado, sea menor o igual al radicando.
Por ejemplo, al buscar la raíz cuadrada de 40, se encuentra que:
\( 6^2 = 36 \) y \( 7^2 = 49 \), entonces \( 36 < 40 < 49 \).
Esto significa que \( \sqrt{40} \) está entre 6 y 7. Se denomina raíz entera al número entero más cercano por debajo de la raíz exacta, en este caso, 6.
La raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número \( a \) se representa como \( \sqrt{a} \) .
El resultado es un número \( b \) cuyo cuadrado es igual a \( a \)
Es decir, si \( b^2 = a \).
Ejemplo interesante 🤓:
- La raíz cuadrada de 4 es 2 porque \( 2^2 = 4 \).
- La raíz cuadrada de 4 es tambien -2 porque \( (-2)^2 = 4 \). (menos por menos es más)
Como se observa en los ejemplos,
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. La diferencia entre ellas es solo el signo.
Para indicar que la raíz cuadrada son dos números que solo se diferencian en el signo, utilizaremos el signo \( \pm \). Por ejemplo, escribimos \( \sqrt{4} = \pm2 \) para decir que tanto \( 2 \) como \( -2 \) son raíces cuadradas de 4.
Otra opción es no escribir ningún signo. Por ejemplo, \( \sqrt{4} = 2 \).
Finalmente, tenemos que decir que para nosotros (nivel de secundaria), no existen las raíces cuadradas de números negativos:
El radicando de una raíz cuadrada siempre debe ser \( \geq 0 \)
Esto se debe a que el cuadrado de un número (real) no puede ser negativo, y, por tanto, no hay raíces de números negativos.
Propiedades de las Raíces
Propiedad 1: Raíz de un Producto
La raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores. Matemáticamente, esto se escribe como \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \).
Propiedad 2: Raíz de un Cociente
La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raíces cuadradas del dividendo y del divisor. Se representa como \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \), donde \( b \neq 0 \).
Propiedad 3: Raíz de una Potencia
La raíz cuadrada de una potencia se calcula elevando el radicando a la mitad del exponente. \( \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} \),
Siempre que \( n \) sea par y \( a \) sea positivo.
Para practicar estas propiedades, intenta calcular las siguientes raíces:
- \( \sqrt{9 \cdot 4} \)
- \( \sqrt{\frac{16}{25}} \)
- \( \sqrt{64} \)
Relación de orden
Relación de orden: Si un número es mayor que un número no negativo \( a \), entonces la raíz cuadrada positiva de \( a \) es mayor que la raíz cuadrada positiva de \( b \):
\[ 0 \leq a < b \Rightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b} \]
Y la raíz cuadrada negativa de \( a \) es mayor que la raíz cuadrada negativa de \( b \):
\[ 0 \leq a < b \Rightarrow -\sqrt{b} < -\sqrt{a} \]
Calculamos la raíz cuadrada positiva de 2 < 3 < 4:
\[ \sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{4} \]
\[ +\sqrt{2} \approx +1.41, \quad +\sqrt{3} \approx +1.73, \quad +\sqrt{4} = +2 \]
Y la raíz cuadrada negativa:
\[ -\sqrt{4} < -\sqrt{3} < -\sqrt{2} \]
\[ -\sqrt{2} \approx -1.41, \quad -\sqrt{3} \approx -1.73, \quad -\sqrt{4} = -2 \]