Definicion de raíz enésima
Representar raíces como potencias facilita la aplicación de las propiedades de las potencias y resulta útil para calcular productos y cocientes de raíces, además de potencias y raíces de potencias.
Raíz de orden \( n \):
Si \( n \) es un número natural positivo (es decir, \( n \in \{1, 2, 3, \ldots\} \)), entonces la raíz enésima de \( a \) es el número \( b \) que cumple \( b^n = a \).
Se expresa como \( \sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a \).
Importante:
- Si el orden de la raíz, \( n \), es par y el radicando es no negativo, la raíz enésima admite dos valores: uno positivo y otro negativo.
- Si el orden de la raíz, \( n \), es impar, la raíz enésima de un número negativo es también negativa.
Raíz escrita como potencia:
La raíz enésima de \( a \) se puede expresar como una potencia con base \( a \) y exponente \( 1/n \):
\[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \]
Propiedades de las raíces enésimas
Al escribir raíces como potencias, podemos aplicar las propiedades conocidas de las potencias, lo cual es útil para simplificar cálculos que involucran raíces.
Producto de raíces:
El producto de raíces del mismo orden es la raíz del producto de los radicandos.
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]
Cociente de raíces:
El cociente de raíces del mismo orden es la raíz del cociente de sus radicandos.
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]
Potencia de una raíz:
Al elevar una raíz a una potencia, se multiplica el exponente de la raíz por el exponente de la potencia.
\[ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \]
Raíz de una raíz:
La raíz de orden \( m \) de una raíz de orden \( n \) es la raíz de orden \( m \cdot n \).
\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \]