1. Introducción
Introducimos el concepto de potencias, explicando su definición y mostrando ejemplos representativos.
Definición: La potencia de base \( a \) y exponente \( b \) es la operación matemática escrita como \( a^b \), que se interpreta como la multiplicación de \( a \) por sí misma \( b \) veces.
\[ a^b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{b \text{ veces}} \]
La expresión \( a^b \) se lee como «\( a \) elevado a \( b \)».
Veamos algunos ejemplos ajustados:
- La potencia de 4 elevada a 2, o \( 4^2 \), conocida como el cuadrado de 4: \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \).
- La potencia de 3 elevada a 3, o \( 3^3 \), conocida como el cubo de 3: \( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \).
- La potencia de 2 elevada a 4, o \( 2^4 \), es 2 a la cuarta potencia: \( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \).
- La potencia de -3 elevada a 2, o \( (-3)^2 \), es el cuadrado de -3: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \).
Casos Especiales:
- Un número \( a \) elevado a la potencia de 1 es simplemente \( a \): \( a^1 = a \).
- Un número \( a \) elevado a la potencia de 0 es 1: \( a^0 = 1 \), dado que \( a \neq 0 \).
- Para cualquier número \( a \) distinto de cero, el inverso se expresa como \( a^{-1} = \frac{1}{a} \).
2. Propiedades de las Potencias
Este apartado detalla las propiedades fundamentales de las operaciones con potencias, las cuales son esenciales para el trabajo algebraico y simplificación de expresiones.
Producto de Potencias
Al multiplicar potencias con la misma base, se suman los exponentes. La propiedad se expresa como \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
Ejemplo: \( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \).
Cociente de Potencias
Al dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes. Se representa por \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
Ejemplo: \( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \).
Potencia de una Potencia
Al elevar una potencia a otro exponente, se multiplican los exponentes. La fórmula correspondiente es \( (a^m)^n = a^{mn} \).
Ejemplo: \( (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 \).
Producto de Potencias con exponentes iguales
Cuando se multiplican potencias con exponentes iguales pero con bases diferentes, el resultado es el producto de las bases elevado al exponente común: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \).
Ejemplo: \( 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 \).
Inverso de una Potencia
El inverso de una potencia con base \( a \) y exponente \( b \) se obtiene al asignar un exponente negativo a la base, resultando en \( a^{-b} = \frac{1}{a^b} \).
Ejemplo: \( (3^2)^{-1} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \).
Exponente Negativo
Una potencia con exponente negativo indica que se trata del inverso de la potencia con el exponente positivo correspondiente. Se define como \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), donde \( a \) no es cero.
Ejemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \).
Nota: Al aplicar las propiedades de producto y cociente de potencias, es esencial que las bases sean idénticas.
3. Bases Negativas
El signo de una potencia con base negativa dependerá de si el exponente es par (positivo) o impar (negativo).
Si el exponente es par, el resultado es positivo, como en \( (-3)^2 = 9 \).
Si el exponente es impar, el resultado es negativo, como en \( (-2)^5 = -32 \).
4. Potencias de 10
Las potencias de 10 son sencillas de calcular y son muy usadas en notación científica.
Si el exponente es positivo, desplazamos el decimal hacia la derecha: \( 10^2 = 100 \).
Si el exponente es negativo, desplazamos el decimal hacia la izquierda: \( 10^{-2} = 0.01 \).
5. Exponentes Negativos
Los exponentes negativos nos indican que estamos trabajando con el inverso de la base elevada al exponente positivo correspondiente.
Por ejemplo, \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) y \( (-2)^{-3} = -\frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{-8} \).