Ejercicios de potencias (con soluciones)
Resuelve los siguientes ejercicios poniendo a prueba los conocimientos que has aprendido en esta lección sobre Potencias.
Ejercicio 1 Fácil
Calcular las potencias:
- Dos elevado a cinco: \( 2^5 \)
- Cinco al cuadrado: \( 5^2 \)
- Dos al cubo: \( 2^3 \)
Ver solución al ejercicio
Para \( 2^5 \), multiplicamos el número 2 por sí mismo cinco veces obteniendo \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \).
El cuadrado de cinco (\( 5^2 \)) resulta en \( 5 \cdot 5 = 25 \).
Para \( 2^3 \), o dos al cubo, calculamos \( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \).
Ejercicio 2 Difícil
Calcular las siguientes potencias:
- \( (-2)^4 \)
- \( 2^4 \)
- \( -2^4 \)
Ver solución al ejercicio
La potencia de \( (-2)^4 \) es positiva porque el exponente es par, resultando en \( 16 \).
Con \( 2^4 \), al ser la base positiva, el resultado es también positivo, igual a \( 16 \).
Para \( -2^4 \), como el signo negativo está fuera de la potencia y el exponente es par, el resultado es \( -16 \).
Ejercicio 3 Fácil
Calcular las siguientes potencias:
- \( (-1)^{13} \)
- \( -1^{13} \)
Ver solución al ejercicio
Para \( (-1)^{13} \), el resultado es \( -1 \) ya que el exponente es impar.
En el caso de \( -1^{13} \), el signo negativo no está afectado por la potencia, por lo que el resultado es también \( -1 \).
Ejercicio 4 Fácil
Calcular \(0.5\) al cuadrado.
Ver solución al ejercicio
La base es un número decimal, por tanto, multiplicamos \(0.5\) por sí mismo para obtener \(0.5^2 = 0.5 \times 0.5 = 0.25\).
También, podemos expresar \(0.5\) como \(\frac{1}{2}\) y aplicar la propiedad de potencia de una fracción: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25\).
Ejercicio 5 Difícil
Calcular la potencia de dos elevada a menos tres: \(2^{-3}\).
Ver solución al ejercicio
Como el exponente es negativo, calculamos el inverso de \(2\) elevado a tres. Así, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}\).
Ejercicio 6 Fácil
Calcular la potencia cuyo exponente es menos tres y cuya base es la potencia dos al cuadrado: \(\left(2^2\right)^{-3}\).
Ver solución al ejercicio
Primero, resolvemos la potencia de la base: \(2^2 = 4\). Luego, aplicamos el exponente negativo: \(\left(2^2\right)^{-3} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \times 4 \times 4} = \frac{1}{64}\).
Ejercicio 9 Fácil
Calcular el siguiente producto de potencias con bases distintas:
\(2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-2}\)
Ver solución al ejercicio
Para calcular el producto de potencias con bases distintas, primero se agrupan y luego se suman los exponentes de las potencias con la misma base:
\(2^{2+(-1)} \cdot 3^{4+(-2)} = 2^1 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\)
Ejercicio 10 Difícil
Calcular el producto de potencias:
\(2^2 \cdot 3^3 \cdot 6^{-3}\)
Ver solución al ejercicio
Las bases de las dos primeras potencias son distintas, pero el número 6 se puede escribir como el producto \(2 \cdot 3\). Al realizar este cambio, se presentan bases comunes:
\(2^{2+(-3)} \cdot 3^{3+(-3)} = 2^{-1} \cdot 3^0 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)
Ejercicio 11 Fácil
Calcular el cociente de productos de potencias:
\(\frac{2^3 \cdot 3^2}{3^3 \cdot 2}\)
Ver solución al ejercicio
Se realiza una división de potencias con la misma base restando los exponentes del denominador a los del numerador con igual base:
\(2^{3-1} \cdot 3^{2-3} = 2^2 \cdot 3^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
Ejercicio 12 Difícil
Calcular el cociente de potencias:
\(\frac{6^5}{2^5 \cdot 3^3}\)
Ver solución al ejercicio
Se expresa el 6 como el producto de 2 y 3 y se aplica la propiedad del cociente de potencias con la misma base, restando los exponentes:
\(\frac{(2 \cdot 3)^5}{2^5 \cdot 3^3} = \frac{2^5 \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^3} = 3^{5-3} = 3^2 = 9\)
Ejercicio 13 Difícil
Calcular la siguiente división entre productos de potencias:
\(\frac{2^3 \cdot 5^4 \cdot 2^{-1} \cdot 5^2}{5^3 \cdot 2^{-2} \cdot 5^3 \cdot 2^4}\)
Ver solución al ejercicio
Se suman los exponentes de las potencias con la misma base en el numerador y se restan los del denominador:
\(\frac{2^{3+(-1)} \cdot 5^{4+2}}{5^{3+3} \cdot 2^{-2+4}} = \frac{2^2 \cdot 5^6}{5^6 \cdot 2^2} = 1\)
Ejercicio 14 Difícil
Calcular las siguientes operaciones entre potencias con bases distintas:
\(\frac{2^4 \cdot 3^4}{6^2}\)
Ver solución al ejercicio
Al tener un producto de potencias en el numerador y una potencia en el denominador, se descompone el 6 en el producto de 2 y 3 y luego se aplican las propiedades de las potencias:
\(\frac{2^4 \cdot 3^4}{(2 \cdot 3)^2} = \frac{2^4 \cdot 3^4}{2^2 \cdot 3^2} = 2^{4-2} \cdot 3^{4-2} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)