Como es una ecuación bicuadrada es de cuarto grado, significa que tiene como mucho 4 soluciones.
Estas ecuaciones se pueden resolver mediante Ruffini, aunque hoy veremos un método más rápido, el cambio de variable.
Método de cambio de variable
Para resolver una ecuación bicuadrada, seguimos los pasos siguientes:
- Aplicar el cambio de variable: Introducimos una nueva variable \( t = x^2 \). Esto convierte la ecuación bicuadrada en una ecuación cuadrática de la forma \( at^2 + bt + c = 0 \).
- Resolver la ecuación cuadrática: Utilizamos métodos conocidos, como la factorización, la fórmula general, o completar el cuadrado, para resolver la ecuación en términos de \( t \).
- Encontrar las soluciones para \( x \): Dado que \( t = x^2 \), las soluciones para \( t \) serán los valores al cuadrado de las soluciones para \( x \). Por lo tanto, si \( t_1 \) y \( t_2 \) son soluciones para \( t \), entonces las soluciones para \( x \) se obtienen tomando las raíces cuadradas positivas y negativas de \( t_1 \) y \( t_2 \).
De este modo, obtenemos hasta cuatro posibles soluciones para la ecuación bicuadrada original.
Ejemplo de cálculo de soluciones para \( x \) dado \( t \):
- Si \( t_1 = 9 \), entonces \( x = \pm\sqrt{9} \), lo que da \( x_1 = 3 \) y \( x_2 = -3 \).
- Si \( t_2 = 4 \), entonces \( x = \pm\sqrt{4} \), lo que da \( x_3 = 2 \) y \( x_4 = -2 \).
Ejercicio 1 Fácil
Resuelve la ecuación bicuadrada \( x^4 – 13x^2 + 36 = 0 \).
Ver solución al ejercicio
Introducimos la variable \( t = x^2 \), transformando la ecuación original en \( t^2 – 13t + 36 = 0 \). Factorizamos como \( (t – 4)(t – 9) = 0 \), encontrando las soluciones \( t = 4 \) y \( t = 9 \). Al revertir el cambio de variable, obtenemos las soluciones \( x = \pm 2 \) y \( x = \pm 3 \).
Ejercicio 2 Media
Determina las raíces de la ecuación bicuadrada \( 2x^4 – 8x^2 + 8 = 0 \).
Ver solución al ejercicio
Realizamos el cambio \( t = x^2 \), simplificando la ecuación a \( 2t^2 – 8t + 8 = 0 \). Dividimos entre 2 para obtener \( t^2 – 4t + 4 = 0 \), cuyas soluciones son \( t = 2 \). Las soluciones para \( x \) son \( x = \pm \sqrt{2} \).
Ejercicio 3 Avanzada
Encuentra las soluciones de la ecuación \( x^4 + x^2 – 20 = 0 \).
Ver solución al ejercicio
Empleamos el cambio de variable \( t = x^2 \), lo que nos lleva a \( t^2 + t – 20 = 0 \). Esta se descompone en \( (t + 5)(t – 4) = 0 \), con lo que \( t = -5 \) (descartado por ser negativo para \( x^2 \)) y \( t = 4 \). Por tanto, \( x = \pm 2 \).