La Regla de Ruffini es una técnica utilizada para la factorización de polinomios en la forma \( P(x) \div (x-a) \), donde \( P(x) \) es un polinomio y \( a \) es una constante.
Esta regla lleva el nombre del matemático italiano Paolo Ruffini, quien la desarrolló en el siglo XVIII. La regla de Ruffini es una forma simplificada de la división de polinomios, ayudando a encontrar el cociente y el residuo de la división de manera rápida.
Para utilizar la regla de Ruffini, se sigue un proceso paso a paso que involucra la evaluación del polinomio en el valor de \( x = a \) y la realización de operaciones aritméticas. Al final del proceso, se obtiene el cociente y el residuo de la división, lo que facilita la factorización del polinomio original.
Aplicación de la Regla de Ruffini
Vamos a aplicar la regla de Ruffini para encontrar las raíces del siguiente polinomio: \( p(x) = x^3 – 3x – 2 \)
1.- Primero escribimos los coeficientes de cada monomio de orden de grado decreciente, si algún coeficiente no está ponemos 0 (pero hay que ponerlo!). De manera que quedaría así: \( p(x) = x^3 – 3x – 2 \)
2.- Miramos el término independiente (el número suelto que no tiene literal, es decir, sin incógnita). En este caso es -2. Calculamos todos sus divisores, que son: 1, -1, 2 y -2. Iremos probando cada uno de estos números con el método de Ruffini hasta conseguir uno que nos de resto 0. Con la experiencia irás aprendiendo a escogerlos. En nuestro caso, hemos elegido el 2, y lo escribimos en la esquina inferior izquierda del recuadro.
3.- Ahora cogemos el primer coeficiente y lo bajamos.
4.- Multiplicamos el número que hemos bajado (1) por nuestro número elegido (en verde, 2) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente (2 en rojo):
5.- Sumamos los terminos y bajamos el valor
6.- Repetimos el proceso, multiplicamos el número resultante por nuestro número elegido (en verde, 2) y lo colocamos de nuevo bajo el siguiente coeficiente:
7.- Repetimos este proceso hasta llegar al final:
Lo importante es que el último resultado del proceso sea 0 (como ocurre en la imagen), si el resultado no es 0 significa que el número que hemos elegido al principio (el verde, 2) no es una raíz y NO nos sirve y tenemos que probar con otro.
Si hemos concluído bien el proceso, entonces tenemos la raíz, que en este caso es: \( x = 2 \)
8.- Los números debajo de la línea nos marcan los coeficientes de un polinomio de un grado menos (que en este caso sería 2). Sería: \( p(x) = x^2 + 2x + 1 \)
NOTA: Podemos continuar buscando raíces con Ruffini, sería lo ideal si queremos factorizar todo el polinomio.
\[ (x^2 + 2x + 1)(x – 2) \] Fíjate que la raíz la hemos cambiado de signo y se expresa en forma de \(( x – raiz )\)
Como decíamos, puedes continuar factorizando y buscando raíces al polinomio \( (x^2 + 2x + 1)\) para terminar de factorizarlo. Te mostramos cómo quedaría todo el polinomio hasta el final con todas las raíces:
Factorización con Ruffini de \( x^3 – 3x – 2 \)
Continuamos haciendo Ruffini hasta que nos quede solo un número (1 en este caso, que sería un termino indendiente), como se ve en la imagen. Las raíces (mostradas en verde) son 2, -1, -1.
Para expresarlo como factores, cambiamos de signo cada raíz y la expresamos así: \( (x – raiz) \)
NOTA IMPORTANTE: En este ejemplo operamos con Ruffini cuando el termino de mayor grado es 1 (es decir, el número que acompaña al mayor exponente), en este caso sería el número que acompaña a \( x^3 \), que es 1, entonces operamos como ya hemos visto.
Cuando la ecuación tiene un término principal es mayor que 1. Ej: \( 3x^3 \) Debemos proceder de manera diferente. Lo veremos en una lección más adelante.