Los productos notables (tambien conocidas como identidades notables) son identidades algebraicas que se utilizan para simplificar y calcular de manera más eficiente la multiplicación de polinomios y binomios.
Identidades notables
Cuadrado de la suma
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Tambien con dos sumandos negativos
\(( -a – b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Esta identidad se aplica cuando elevamos al cuadrado la suma de dos términos.
Ejemplo: \((3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\)
Cuadrado de la resta
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
Se utiliza cuando tenemos la resta de dos términos y queremos elevarla al cuadrado.
Ejemplo: \((5 – x)^2 = 5^2 – 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 – 10x + x^2\)
Suma por diferencia
\((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)
Este producto notable resulta de la multiplicación de un binomio por su conjugado.
Ejemplo: \((x + 5)(x – 5) = x^2 – 5^2 = x^2 – 25\)
Como trabajo extra, te mostramos algunas identidades notables opcionales:
Cubo de la suma
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
Corresponde al desarrollo del cubo de la suma de dos términos.
Ejemplo: \((2 + x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3\)
Cubo de la resta
\((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)
Similar al cubo de la suma, pero con la resta de dos términos.
Ejemplo: \((x – 3)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 – 3^3 = x^3 – 9x^2 + 27x – 27\)
Ejercicios de Identidades notables
Ejercicio 1: Calcula el cuadrado de la suma de \(5 + 3\).
Ver solución
\((5 + 3)^2 = 8^2 = 64\)
Ejercicio 2: Expresa \((x – 4)^2\) utilizando la identidad notable del cuadrado de la resta.
Ver solución
\((x – 4)^2 = x^2 – 8x + 16\)
Ejercicio 3: Usa la suma por diferencia para encontrar el resultado de \((7 + 5)(7 – 5)\).
Ver solución
\((7 + 5)(7 – 5) = 7^2 – 5^2 = 49 – 25 = 24\)
Ejercicio 4: Desarrolla \((3x + 2y)^2\) aplicando el cuadrado de la suma.
Ver solución
\((3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2\)
Ejercicio 5: Aplica la identidad del cuadrado de la resta para calcular \((x – y)^2\).
Ver solución
\((x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2\)
Ejercicio 6: Encuentra el producto de \((6 + 4)(6 – 4)\) utilizando la identidad notable de suma por diferencia.
Ver solución
\((6 + 4)(6 – 4) = 6^2 – 4^2 = 36 – 16 = 20\)
Ejercicio 7: Calcula el cuadrado de la suma de \(x + 6\).
Ver solución
\((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\)
Ejercicio 8: Desarrolla \((2 – x)^2\) usando la identidad notable del cuadrado de la resta.
Ver solución
\((2 – x)^2 = 4 – 4x + x^2\)
Ejercicio 9: Utiliza la suma por diferencia para expandir \((9 + x)(9 – x)\).
Ver solución
\((9 + x)(9 – x) = 9^2 – x^2 = 81 – x^2\)
Ejercicio 10: Aplica el cuadrado de la suma para encontrar el resultado de \((3 + 2x)^2\).
Ver solución
\((3 + 2x)^2 = 9 + 12x + 4x^2\)
Identidades de Lagrange
Las identidades de Lagrange son fórmulas que expresan la suma de cuatro cuadrados de números enteros como el producto de dos sumas de cuatro cuadrados. Estas identidades son útiles en diversas áreas de las matemáticas, incluida la teoría de números.
Desarrollo de las Identidades de Lagrange
Una identidad de Lagrange tiene la forma: \((a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = \)
Donde el desarrollo del lado derecho resulta en una nueva suma de cuatro cuadrados.
\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = \\ (ax + by + cz + dw)^2 + \\ (ay – bx – cw + dz)^2 + \\ (az + bw – cy – dx)^2 + \\ (aw – bz + cx – dy)^2
\]
Este desarrollo expresa el producto de dos sumas de cuatro cuadrados como una nueva suma de cuatro cuadrados, demostrando así las Identidades de Lagrange.
Ejercicio 1: Dados los conjuntos de números \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{2, 3, 5, 7\} \), encuentra el resultado de aplicar la identidad de Lagrange para obtener otra suma de cuatro cuadrados.
Ver solución
La identidad de Lagrange nos dice que el producto de dos sumas de cuadrados es también una suma de cuadrados. En este caso:
\[
(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)(2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2) = \\ (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7)^2 + \\ (1 \cdot 3 – 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 – 4 \cdot 5)^2 + \\ (1 \cdot 5 – 2 \cdot 7 – 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3)^2 + \\ (1 \cdot 7 + 2 \cdot 5 – 3 \cdot 3 – 4 \cdot 2)^2
\]
Realizando las operaciones se obtiene el conjunto de sumas de cuadrados deseado.
Ejercicio 2: Si \( (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 30 \) y \( (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = 70 \), usa las identidades de Lagrange para determinar una suma de cuatro cuadrados que sea equivalente al producto de estas dos sumas.
Ver solución
De acuerdo con las identidades de Lagrange, el producto de las sumas de cuadrados es igual a:
\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + w^2) = \\ (ax + by + cz + dw)^2 + \\ (ay – bx + cw – dz)^2 + \\ (az – cy – bx + dw)^2 + \\ (aw + bz – cx – dy)^2
\]
Sustituimos \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 30 \) y \( x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 70 \) en la ecuación:
\[
30 \cdot 70 = \\ (ax + by + cz + dw)^2 + \\ (ay – bx + cw – dz)^2 + \\ (az – cy – bx + dw)^2 + \\ (aw + bz – cx – dy)^2
\]
Entonces, la suma de los cuadrados será \( 2100 = (ax + by + cz + dw)^2 + \\ (ay – bx + cw – dz)^2 + \\ (az – cy – bx + dw)^2 + \\ (aw + bz – cx – dy)^2 \), que es una suma de cuatro cuadrados que resulta del producto de las dos sumas dadas.