El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos sin dejar resto.
Definición
Para encontrar el MCD de dos o más números, descomponemos cada número en un producto de factores primos y tomamos el producto de las menores potencias de los factores comunes.
Ver lección: Cómo descomponer en número en primos.
Ejemplo 1: MCD de 48 y 60
Descomponemos en factores primos:
- \(48 = 2^4 \times 3\)
- \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Seleccionamos las menores potencias de los factores comunes:
\(MCD(48, 60) = 2^2 \times 3 = 12\)
Ejemplo 2: Repartir con MCD
Laura tiene 30 galletas y desea repartirlas con sus amigos de manera equitativa. Si ella tiene 5 amigos, ¿cuántas galletas recibirá cada uno si quieren que la distribución sea la más justa posible?
Solución:
Para que cada amigo reciba la misma cantidad de galletas y sea la cantidad más grande posible, necesitamos calcular el MCD de 30 y el número de amigos, que es 5.
Descomponemos el número 30 en sus factores primos:
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
El número 5 ya es un número primo, así que su descomposición es simplemente:
- \(5 = 5\)
El MCD se calcula tomando el producto de los factores primos comunes con el menor exponente:
\(MCD(30, 5) = 5\)
Por lo tanto, Laura podrá repartir las galletas de tal manera que cada amigo reciba 5 galletas y todas serán repartidas equitativamente.
Ejercicio 1:
Calcula el MCD de 48 y 60:
Ver solución al ejercicio
- \(48 = 2^4 \times 3\)
- \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
Seleccionamos las menores potencias de los factores comunes:
\(MCD(48, 60) = 2^2 \times 3 = 12\)
Ejercicio 2:
Encuentra el MCD de 18 y 24:
Ver solución al ejercicio
- \(18 = 2 \times 3^2\)
- \(24 = 2^3 \times 3\)
Tomamos las menores potencias de los factores comunes:
\(MCD(18, 24) = 2 \times 3 = 6\)
Ejercicio 3:
Calcula el MCD de 100 y 125:
Ver solución al ejercicio
- \(100 = 2^2 \times 5^2\)
- \(125 = 5^3\)
Seleccionamos las menores potencias de los factores comunes:
\(MCD(100, 125) = 5^2 = 25\)