Fracciones Equivalentes
Hay fracciones que representan la misma cantidad aunque tengan numeradores y denominadores diferentes, y se las conoce como fracciones equivalentes.
Por ejemplo, la fracción \( \displaystyle \frac{32}{64} \) es igual a 0.5.
Pero existen muchas otras fracciones equivalentes:
\( \displaystyle \frac{1}{2} \) = 0.5
\( \displaystyle \frac{160}{320} \) = 0.5
\( \displaystyle \frac{197440}{394880} \) = 0.5
Estas fracciones tienen diferentes numeradores y denominadores pero representan el mismo número.
Existen infinitas fracciones equivalentes. Para conseguirlas tan solo tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número, y ya tenemos una nueva fracción equivalente. Obtener nuevas fracciones de esta manera es muy fácil, pero lo realmente interesante es encontrar la fracción «irreducible«.
Por ejemplo, la fracción más sencilla y representativa para 0.5 es \( \displaystyle \frac{1}{2} \), y a esta la llamamos fracción irreducible porque no se puede simplificar más.
Para simplificar fracciones a su forma irreducible, podemos usar diferentes métodos:
- Dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor.
- Descomponer numerador y denominador en factores primos y simplificar.
- Dividir numerador y denominador entre el mismo número hasta que no se puedan simplificar más.
Es importante saber simplificar fracciones porque trabajar con números más pequeños hace las matemáticas más simples.
Simplificar fracciones con Máximo Común Divisor (M.C.D.)
Para simplificar fracciones, buscamos el máximo común divisor (MCD) del numerador y del denominador, que es el número más grande que divide a ambos sin dejar resto.
Después, dividimos ambos, numerador y denominador, por el MCD para obtener la fracción simplificada. Si el MCD es 1, la fracción ya está en su forma más simple y se llama fracción irreducible.
Veamos un ejemplo con la fracción \( \frac{36}{60} \). Primero, descomponemos cada número en factores primos:
- \( 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \) lo que es igual a \( 36 = 2^2 \cdot 3^2 \)
- \( 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \) lo que es igual a \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
El MCD es el producto de los factores comunes con el menor exponente, en este caso \( 2^2 \cdot 3 = 12 \). Luego, simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por 12:
\( \frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5} \)
Por lo tanto, \( \frac{36}{60} \) simplificada es \( \frac{3}{5} \).
Simplificar fracciones con Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.)
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el menor número que es múltiplo común de todos ellos.
Para encontrar el MCM de dos números, descomponemos cada número en sus factores primos y tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Por ejemplo, para encontrar el MCM de 12 y 15, primero encontramos sus factores primos:
- \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
- \( 15 = 3 \cdot 5 \)
Luego, para el MCM tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
\( \text{MCM}(12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)
Así que el MCM de 12 y 15 es 60, porque es el número más pequeño que ambos números pueden dividir sin dejar resto.
El MCM es muy útil para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, ya que necesitamos un denominador común para realizar estas operaciones.