1.6 Raíces enésimas Ejercicios ESO

Primer producto:

Como las raíces tienen el mismo índice, aplicamos la propiedad:
\[
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}
\]

\[
\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2 \cdot 3} = \sqrt[3]{6}
\]

Segundo producto:

\[
\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{5 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt[4]{40}
\]

Aplicamos la propiedad del cociente de radicales con el mismo índice:
\[
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
\]

Primer cociente:

\[
\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}
\]

Segundo cociente:

\[
\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}
\]

Observamos que no todas las raíces tienen el mismo orden. Sin embargo, podemos agrupar las que sí tienen el mismo orden para simplificar.

\( \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[5]{4} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[2]{5}} = … \)

La propiedad no se cumple en general, como se demuestra en el siguiente contraejemplo:

\[ \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4 \]

Sin embargo, \[ \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \neq 4 \]. Por lo tanto, la suma de raíces cuadradas no es necesariamente igual a la raíz cuadrada de la suma.

La demostración de las propiedades se basa en la escritura de las raíces como potencias y la aplicación de las reglas de los exponentes:

Para la Propiedad 1, por ejemplo, se tiene que \((\sqrt[n]{a^m})^p = (a^{m/n})^p = a^{(mp/n)} = (\sqrt[n]{a})^{mp}\).

Y así sucesivamente para las demás propiedades.

La potencia \( 9^{1/2} \) equivale a la raíz cuadrada de 9, que es 3.

Recordamos que \( (\sqrt[n]{a})^m = a^{m/n} \). Por lo tanto, \( 2^{5/6} \) es equivalente a \( \sqrt[6]{2^5} \).

La raíz sexta de \( 2^5 \) es \( \sqrt[6]{32} \).

Usamos la propiedad \( (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} \), por lo que \( (3^{1/2})^{5} = 3^{5/2} \).

Esto es equivalente a \( \sqrt[2]{3^5} \), que simplifica a \( \sqrt[2]{243} \).

Para simplificar la expresión, primero convertimos las raíces a potencias fraccionarias y luego aplicamos las propiedades de potencias.

\( \left(\frac{3^{1/4}}{6^{1/2}}\right)^2 = \frac{3^{1/4 \cdot 2}}{6^{1/2 \cdot 2}} = \frac{3^{1/2}}{6} \)

Usamos la propiedad del cociente de potencias para simplificar más: \( \frac{3^{1/2}}{6} = \frac{\sqrt[2]{3}}{6} \).

Escribimos la raíz de orden cuatro como una potencia y simplificamos el exponente:

\( (5^{3/4})^3 = 5^{(3/4) \cdot 3} = 5^{9/4} \)

Lo que es equivalente a \( \sqrt[4]{5^9} \), que simplifica a \( \sqrt[4]{1953125} \).

Tenemos raíces anidadas y aplicamos las propiedades de potencias:

\( \left(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\right)^{48} = \left(2^{1/6}\right)^{48} = 2^{48/6} = 2^8 \)

Lo que simplifica a \( 256 \).

Convertimos 9 a potencia de 3 y aplicamos las propiedades de potencias para las raíces cúbicas y cuadradas:

\[ \left( \frac{3}{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{3}{3^{2/3} \cdot 2^{1/2}} \right)^2 \]

Multiplicamos los exponentes:

\[ = \left( \frac{3^1}{3^{2/3} \cdot 2^{1/2}} \right)^2 = \left( 3^{1 – 2/3} \cdot 2^{-1/2} \right)^2 = 3^{2/3} \cdot 2^{-1} \]

Lo que simplifica a:

\[ = \frac{3^{2/3}}{2} \]

Extraemos un factor de la raíz para simplificar más:

\[ = \frac{\sqrt[3]{3^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{9}}{2} \]

Finalmente, obtenemos:

\[ = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} \]