Las fracciones con raíces en el denominador se pueden simplificar encontrando una fracción equivalente sin raíces en el denominador, un proceso conocido como racionalización.
Las herramientas clave para simplificar raíces incluyen las propiedades de las potencias y los productos notables:
- Cuadrado de la suma: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- Cuadrado de la resta: \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
- Suma por diferencia: \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)
Una raíz también puede expresarse como una potencia fraccionaria, y el producto de raíces del mismo orden es igual a la raíz del producto de sus radicandos:
\(\sqrt[a]{x}\cdot\sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy}\)
Para racionalizar, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por un factor que conocemos como Conjugado, con el fin de eliminar las raíces del denominador:
Conjugado: Dado \(A + B\), su conjugado es \(A – B\) y viceversa. Al multiplicar un número por su conjugado, las raíces del denominador desaparecen.
Utilizando el conjugado, podemos eliminar la raiz del denominador, tan solo multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, obteniendo una nueva fracción equivalente, que al operarla y reducirla, nos eliminará la raiz del denominador.
Ejemplo Racionalizar con el conjugado:
\[
\frac{3}{1 – \sqrt{3}}
\]
Solución
Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por el conjugado de la resta (el conjugado se calcula cambiando el signo negativo por el positivo):
\[
\frac{3}{1 – \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 – \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})}
\]
En el denominador tenemos una suma por una diferencia. El resultado de esta operación es la diferencia de los cuadrados de los sumandos:
\[
\frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 – \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})} = \frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{1^2 – (\sqrt{3})^2}
\]
La raíz desaparece al elevar al cuadrado:
\[
\frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{1 – 3} = \frac{3 \cdot (1 + \sqrt{3})}{-2}
\]
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Racionalizar:
\[
\frac{2}{4 + \sqrt{5}}
\]
Ver solución al ejercicio
La fracción de este ejercicio se asemeja a la del ejercicio anterior, pero con un cambio en los valores.
Procedemos de manera similar (multiplicamos por el conjugado del denominador):
\[
\frac{2}{4 + \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (4 – \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) \cdot (4 – \sqrt{5})}
\]
En el denominador tenemos una suma por una diferencia:
\[
\frac{2 \cdot (4 – \sqrt{5})}{16 – (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (4 – \sqrt{5})}{16 – 5}
\]
La raíz desaparece al elevar al cuadrado:
\[
\frac{2 \cdot (4 – \sqrt{5})}{11} = \frac{8 – 2\sqrt{5}}{11}
\]
Ejercicio 2
Racionalizar la siguiente fracción con parámetros:
\[
\frac{\sqrt{b}}{3 – \sqrt{b}}
\]
Ver solución al ejercicio
Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por su conjugado:
\[
\frac{\sqrt{b}}{3 – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} \cdot (3 + \sqrt{b})}{(3 – \sqrt{b}) \cdot (3 + \sqrt{b})}
\]
En el denominador tenemos una suma por una diferencia:
\[
\frac{\sqrt{b} \cdot (3 + \sqrt{b})}{3^2 – (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{b} \cdot (3 + \sqrt{b})}{9 – b}
\]
La raíz desaparece al elevar al cuadrado:
\[
\frac{3\sqrt{b} + b}{9 – b} = \frac{3\sqrt{b} + b}{9 – b}
\]
La expresión final es un poco más larga que la inicial pero sin raíces en el denominador.
Ejercicio 3
Racionalizar la siguiente fracción que tiene una resta de raíces en el denominador:
\[
\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c+d} – \sqrt{c-d}}
\]
Ver solución al ejercicio
Como tenemos una resta en el denominador, multiplicamos por su conjugado:
\[
\frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c+d} – \sqrt{c-d}} = \frac{\sqrt{c+d} \cdot (\sqrt{c+d} + \sqrt{c-d})}{(\sqrt{c+d} – \sqrt{c-d})(\sqrt{c+d} + \sqrt{c-d})}
\]
Las raíces cuadradas que están al cuadrado desaparecen:
\[
\frac{(\sqrt{c+d})^2 + \sqrt{c+d}\sqrt{c-d}}{(\sqrt{c+d})^2 – (\sqrt{c-d})^2} = \frac{c+d + \sqrt{(c+d)(c-d)}}{c+d – (c-d)}
\]
El denominador se simplifica fácilmente. En el numerador aplicamos la propiedad de que el producto de raíces es igual a la raíz del producto de sus radicandos y tenemos una suma por diferencia:
\[
\frac{c+d + \sqrt{c^2-d^2}}{2d}
\]
Ejercicio 4
Racionalizar la siguiente fracción que tiene una raíz cúbica en el denominador:
\[
\frac{3}{\sqrt[3]{7}}
\]
Ver solución al ejercicio
La raíz del denominador es cúbica y, por lo tanto, si la multiplicamos por sí misma dos veces más, eliminaremos la raíz del denominador.
\[
\frac{3}{\sqrt[3]{7}} = \frac{3 \cdot (\sqrt[3]{7})^2}{(\sqrt[3]{7})^2 \cdot \sqrt[3]{7}}
\]
Al igual que las raíces cuadradas desaparecen cuando están al cuadrado, las raíces cúbicas desaparecen cuando están al cubo. Entonces, multiplicamos por la raíz al cuadrado:
\[
\frac{3 \cdot (\sqrt[3]{7})^2}{(\sqrt[3]{7})^3} = \frac{3 \cdot (\sqrt[3]{7})^2}{7}
\]
Desaparece el signo radical del denominador y si introducimos el cuadrado dentro de la raíz, el resultado final es:
\[
\frac{3 \cdot \sqrt[3]{49}}{7}
\]
Ejercicio 5
Multiplicamos en el numerador y en el denominador por \(\sqrt{y} – b\sqrt{b}\):
\[
\frac{y\sqrt{y} – b\sqrt{b}}{\sqrt{y} – \sqrt{b}}
\]
Ver solución al ejercicio
\[
\frac{y\sqrt{y} – b\sqrt{b}}{\sqrt{y} – \sqrt{b}} = \frac{y\sqrt{y} – b\sqrt{b}}{\sqrt{y} – \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{y} + \sqrt{b}}{\sqrt{y} + \sqrt{b}}
\]
\[
= \frac{y\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} + y\sqrt{y} \cdot \sqrt{b} – b\sqrt{b} \cdot \sqrt{y} – b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{y – b}
\]
\[
= \frac{y^2 + y\sqrt{yb} – b\sqrt{yb} – b^2}{y – b} = \frac{y^2 – b^2 + \sqrt{yb}(y – b)}{y – b}
\]
\[
= (y + b) + \sqrt{yb}
\]
Los factores \(y – b\) se pueden simplificar, obteniendo:
\[
\frac{y\sqrt{y} – b\sqrt{b}}{\sqrt{y} – \sqrt{b}} = y + b + \sqrt{yb}
\]