Fórmula del Área de un Triángulo
El área A de un triángulo se calcula utilizando la base b y la altura h con la fórmula:
\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \]
Explicación de la Fórmula del Área de un Triángulo
Para comprender el origen de la fórmula del área de un triángulo, consideremos un triángulo con base \( b \) y altura \( h \).
Construyamos un rectángulo duplicando el triángulo a lo largo de la altura, formando un romboide. Este romboide tiene por lados dos veces la altura \( h \) y la base \( b \). Dado que el área del romboide es simplemente la base por la altura, tenemos:
\[ A_{\text{romboide}} = b \cdot h \]
El área del triángulo original es la mitad del área del romboide, ya que este último está compuesto por dos triángulos idénticos. Por tanto:
\[ A_{\text{triángulo}} = \frac{A_{\text{romboide}}}{2} = \frac{b \cdot h}{2} \]
Área del Triángulo Equilátero
\[ A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]
Fórmula de Herón para el Área
Para un triángulo de lados a, b, y c, la fórmula de Herón define el área como:
\[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
donde s es el semiperímetro del triángulo:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
Ver demostración de la Fórmula de Herón
La demostración se basa en el teorema de Pitágoras y en manipulaciones algebraicas para expresar el área en función de los lados del triángulo.