Definición de recta
Rectas Paralelas
Dos rectas en el mismo plano se dicen que son paralelas si nunca se encuentran, es decir, no tienen ningún punto en común y su distancia es constante en todos sus puntos.
Una propiedad fundamental de las rectas paralelas es que tienen la misma pendiente, esto implica que la inclinación de ambas respecto al eje horizontal es idéntica.
Las rectas \( y = 2x + 1 \) y \( y = 2x + 3 \) son paralelas porque su pendiente, que es el coeficiente de \( x \), es la misma en ambas ecuaciones, lo cual es \( m = 2 \).
En cambio, las rectas \( y = x + 2 \) y \( y = 4x – 1 \) no son paralelas ya que sus pendientes son diferentes, siendo \( m_1 = 1 \) y \( m_2 = 4 \), respectivamente.
Rectas Perpendiculares
Y el producto de sus pendientes es -1, es decir, una tiene una pendiente que es el negativo recíproco de la otra. Si la pendiente de una recta es \( m \), entonces la pendiente de la recta perpendicular a esta será \( -\frac{1}{m} \).
Cálculo del Punto de Intersección de Dos Rectas Perpendiculares
Para calcular el punto de intersección \( (x, y) \) de las rectas con ecuaciones \( y = m_1x + b_1 \) y \( y = m_2x + b_2 \), donde \( m_1 \) y \( m_2 \) son pendientes negativas recíprocas, seguimos estos pasos:
- Establecemos las ecuaciones de ambas rectas igualando las ecuaciones de \( y \).
- Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. Esto se puede hacer mediante sustitución o eliminación.
Por ejemplo, si tenemos las rectas \( y = 2x + 3 \) y \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \), establecemos:
\[ 2x + 3 = -\frac{1}{2}x + 1 \]
Resolvemos para \( x \) sumando \( \frac{1}{2}x \) a ambos lados y restando \( 3 \) de ambos lados:
\[ 2x + \frac{1}{2}x = 1 – 3 \]
\[ \frac{5}{2}x = -2 \]
\[ x = -\frac{4}{5} \]
Reemplazamos \( x \) en una de las ecuaciones originales para encontrar \( y \):
\[ y = 2(-\frac{4}{5}) + 3 \]
\[ y = -\frac{8}{5} + 3 \]
\[ y = \frac{7}{5} \]
Por lo tanto, el punto de intersección es \( (-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}) \).
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El punto de intersección de las rectas perpendiculares dadas es \( (-\frac{4}{5}, \frac{7}{5}) \).
Teorema de Thales (conocimiento opcional)
Aplicación del Teorema de Thales
En un conjunto de rectas paralelas cortadas por dos transversales, si un segmento de una transversal mide 5 cm y su correspondiente en la otra transversal mide 7 cm, entonces cualquier otro par de segmentos correspondientes mantendrá esta misma relación de proporcionalidad.
Es relevante notar que en la geometría analítica, el criterio de perpendicularidad proporciona un método para determinar si dos rectas son perpendiculares sin necesidad de medir ángulos. Este concepto es fundamental en el diseño y análisis de estructuras, creación de gráficos y en la solución de problemas de optimización.
Ejercicios
Ejercicio 1: Fácil
Encuentra si las rectas dadas por las ecuaciones \( y = 2x + 1 \) y \( y = 2x – 3 \) son paralelas.
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Ambas rectas tienen la misma pendiente \( m = 2 \), lo que indica que son paralelas, ya que no hay ningún punto en el que se corten.
Ejercicio 2: Media
Comprueba si la recta \( y = -\frac{1}{3}x + 5 \) es perpendicular a la recta \( y = 3x – 2 \).
Ver solución al ejercicio
La pendiente de la primera recta es \( -\frac{1}{3} \) y de la segunda \( 3 \). Son negativas recíprocas, por lo que las rectas son perpendiculares.
Ejercicio 3: Difícil
Determina el punto de intersección entre las rectas \( y = \frac{4}{5}x + 1 \) y \( y = -\frac{5}{4}x + 3 \).
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Establecemos la igualdad \( \frac{4}{5}x + 1 = -\frac{5}{4}x + 3 \) y resolvemos para \( x \). Esto nos da \( x = \frac{8}{9} \). Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar \( y \), resultando en \( y = \frac{43}{9} \). Por tanto, el punto de intersección es \( (\frac{8}{9}, \frac{43}{9}) \).
Ejercicio 4: Fácil
Si dos rectas paralelas tienen ecuaciones \( y = \frac{1}{2}x + 2 \) y \( y = \frac{1}{2}x + b \), encuentra el valor de \( b \) sabiendo que pasan por el punto \( (4,5) \).
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Sustituimos \( x = 4 \) y \( y = 5 \) en la segunda ecuación: \( 5 = \frac{1}{2}(4) + b \), de donde obtenemos \( b = 3 \).
Ejercicio 5 Fácil
Determinar si las rectas dadas por \( y = 3x + 2 \) y \( y = 3x – 5 \) son paralelas.
Ver solución al ejercicio
Dado que ambas rectas tienen la misma pendiente \( m = 3 \), por definición, son paralelas.
Ejercicio 6 Media
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (2, -3) \) y es perpendicular a la recta \( y = \frac{3}{4}x – 5 \).
Ver solución al ejercicio
La pendiente de la recta dada es \( \frac{3}{4} \), por lo tanto, la pendiente de la recta perpendicular será \( m = -\frac{4}{3} \). Utilizando la fórmula punto-pendiente para la ecuación de la recta, obtenemos \( y + 3 = -\frac{4}{3}(x – 2) \).
Ejercicio 7 Fácil
Encuentra la ecuación de una recta paralela a la recta \( y = -3x + 6 \) que pase por el punto \( (1, 2) \).
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Como la recta debe ser paralela a \( y = -3x + 6 \), su pendiente debe ser también \( -3 \). Utilizando la fórmula punto-pendiente, la ecuación de la nueva recta es \( y – 2 = -3(x – 1) \), que se simplifica a \( y = -3x + 5 \).