La orientación de la parábola depende del signo de \( a \):
- Si \( a > 0 \), la parábola se abre hacia arriba.
- Si \( a < 0 \), se abre hacia abajo.
Puntos de corte con los ejes
Vértice de una parábola
Ejemplos
Ejemplo 1: Parábola
Esta parábola \( y = x^2 + 4x + 4 \) abre hacia arriba porque el coeficiente \( a = 1 \) es positivo. El vértice se encuentra en \( h = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \), y el valor de \( y \) en el vértice es \( k = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 0 \), así que el vértice es \( (-2, 0) \). Esta parábola intercepta el eje Y en \( (0, 4) \) y toca el eje X en su vértice.
Ejemplo 2: Parábola
Esta parábola \( y = -2x^2 + 8x – 6 \) abre hacia abajo ya que \( a = -2 \) es negativo. Calculamos el vértice con \( h = -\frac{8}{2(-2)} = 2 \) y \( k = -2(2)^2 + 8(2) – 6 = 2 \), dando lugar al vértice \( (2, 2) \). Intercepta el eje Y en \( (0, -6) \) y tendrá dos intersecciones con el eje X, que se pueden encontrar resolviendo la ecuación cuadrática.
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Encuentra el vértice de la parábola \( y = x^2 – 4x + 3 \).
Ver solución al ejercicio
El vértice \( (h, k) \) se encuentra usando \( h = \frac{-b}{2a} \). Aquí \( a = 1 \) y \( b = -4 \), por lo que:
\( h = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \)
Ahora calculamos \( k \) sustituyendo \( h \) en la ecuación:
\( k = (2)^2 – 4 \cdot 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1 \)
Por lo tanto, el vértice es \( (2, -1) \).
Ejercicio 2 Fácil
Calcula los puntos de corte con los ejes de la parábola dada por la ecuación \( y = x^2 – 6x + 8 \).
Ver solución al ejercicio
Para cortar el eje Y (OX), hacemos \( y = 0 \):
\( 0 = x^2 – 6x + 8 \) que al resolver nos da \( x = 2 \) o \( x = 4 \), por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son \( (2, 0) \) y \( (4, 0) \).
Para el eje Y, \( x = 0 \) y \( y = 8 \), así que el punto de corte con el eje Y es \( (0, 8) \).
Ejercicio 3 Medio
Encuentra las dos parábolas que cortan al eje X en los puntos \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
Ver solución al ejercicio
Las parábolas que pasan por esos puntos tienen la forma \( y = a(x – 1)(x – 3) \).
Para la primera parábola, asumamos que \( a = 1 \), entonces \( y = (x – 1)(x – 3) \).
Para la segunda parábola, asumamos que \( a = -1 \), entonces \( y = -(x – 1)(x – 3) \).
Ejercicio 4 Difícil
Proporciona un ejemplo de una parábola que no corta al eje de abscisas (eje X), de otra que lo corta en un solo punto y de otra que lo corta en dos puntos.
Ver solución al ejercicio
Una parábola que no corta al eje X puede ser \( y = x^2 + 4 \), que tiene su vértice por encima del eje X y abre hacia arriba.
Una parábola que corta el eje X en un solo punto puede ser \( y = x^2 \), que toca el eje X en el origen (0,0).
Una parábola que corta el eje X en dos puntos puede ser \( y = x^2 – 4 \), que corta el eje X en \( (-2, 0) \) y \( (2, 0) \).