La Ecuación de la Recta
Por ejemplo, para la recta con pendiente \( m = 2 \) y corte con el eje Y en \( b = -3 \), la ecuación es \( y = 2x – 3 \).
Esta recta es creciente, ya que su pendiente es positiva, y corta al eje Y en el punto \( (0, -3) \).
Puntos de Corte con los Ejes
Para encontrar el punto de corte con el eje X, donde \( y = 0 \), sustituimos el valor de y despejamos \( x \) en la ecuación \( 0 = mx + b \).
El punto de corte será \( x = -\frac{b}{m} \), siempre que \( m \neq 0 \).
Por ejemplo, el punto de corte de \( y = 2x – 3 \) con el eje X es \( (1.5, 0) \), ya que \( 0 = 2 \cdot 1.5 – 3 \).
Para calcular el corte con el eje Y, simplemente tomamos \( x = 0 \) en la ecuación de la recta, lo que nos da \( y = b \).
Así, para nuestra ecuación \( y = 2x – 3 \), el punto de corte con el eje Y es \( (0, -3) \).
Rectas Especiales
Las rectas horizontales tienen ecuación \( y = b \) y las verticales \( x = k \), donde \( k \) es el corte con el eje X.
Las rectas \( y = 2 \) y \( x = -1 \) son ejemplos de rectas horizontales y verticales respectivamente.
Ejercicios sobre rectas
Ejercicio 1 Fácil
Calcula los puntos de corte con los ejes de la recta dada por la ecuación \( y = 3x – 6 \).
Ver solución al ejercicio
Para el eje X, hacemos \( y = 0 \):
\( 0 = 3x – 6 \) ⟹ \( x = 2 \)
El punto de corte con el eje X es \( (2, 0) \).
Para el eje Y, hacemos \( x = 0 \):
\( y = 3 \cdot 0 – 6 \) ⟹ \( y = -6 \)
El punto de corte con el eje Y es \( (0, -6) \).
Ejercicio 2 Medio
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( (1, 2) \) y \( (3, -2) \).
Ver solución al ejercicio
La pendiente \( m \) es \( m = \frac{-2 – 2}{3 – 1} = -2 \).
Usando el punto \( (1, 2) \) y la pendiente encontrada, la ecuación es:
\( y – 2 = -2(x – 1) \) ⟹ \( y = -2x + 4 \).
Ejercicio 3 Difícil
Calcula el punto de intersección de las rectas \( y = 2x + 3 \) y \( y = -x + 5 \).
Ver solución al ejercicio
Igualamos las dos ecuaciones para encontrar el punto de intersección:
\( 2x + 3 = -x + 5 \) ⟹ \( 3x = 2 \) ⟹ \( x = \frac{2}{3} \).
Sustituimos \( x \) en una de las ecuaciones para encontrar \( y \):
\( y = 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3} \).
Por lo tanto, el punto de intersección es \( \left(\frac{2}{3}, \frac{13}{3}\right) \).