El Teorema del Binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para expandir las potencias de un binomio. Este teorema recibe su nombre del matemático inglés Sir Isaac Newton, aunque ya había sido conocido y demostrado por otros matemáticos antes de él.
Consiste en: \( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \), donde \( \binom{n}{k} \) son los coeficientes binomial, \( a \) y \( b \) son los términos del binomio, y \( n \) es el exponente.
Cuando expandimos un binomio, el número de términos en la expansión se incrementa en uno con cada aumento del exponente. Cada término en la expansión tiene un coeficiente, determinado por los coeficientes binomiales, que también se conocen como números combinatorios o números de Pascal.
La fórmula expresada por el teorema del binomio de Newton utiliza los coeficientes binomiales para generar estos coeficientes de cada término en la expansión. La fórmula permite una expansión rápida y eficiente de cualquier potencia de un binomio, sin necesidad de realizar la multiplicación repetida del binomio.
Ejemplos de Teorema del binomio de Newton
Ejemplo 1: Expandamos el binomio \( (x+y)^4 \) utilizando el teorema del binomio de Newton.
Aplicando la fórmula obtenemos:
\( (x+y)^4 = \binom{4}{0} x^{4-0}y^0 + \binom{4}{1} x^{4-1}y^1 + \binom{4}{2} x^{4-2}y^2 + \binom{4}{3} x^{4-3}y^3 + \binom{4}{4} x^{4-4}y^4 \)
Esto simplifica a: \( x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \)
Ejemplo 2: Expandamos el binomio \( (a – 2b)^3 \) utilizando el teorema del binomio de Newton.
Aplicando la fórmula obtenemos:
\( (a-2b)^3 = \binom{3}{0} a^{3-0}(-2b)^0 + \binom{3}{1} a^{3-1}(-2b)^1 + \binom{3}{2} a^{3-2}(-2b)^2 + \binom{3}{3} a^{3-3}(-2b)^3 \)
Simplificando obtenemos: \( a^3 – 6a^2b + 12ab^2 – 8b^3 \)
Ejemplo 3: Expandamos el binomio \( (x – y)^5 \) utilizando el teorema del binomio de Newton.
Aplicando la fórmula obtenemos:
\( (x – y)^5 = \binom{5}{0} x^{5-0}(-y)^0 + \binom{5}{1} x^{5-1}(-y)^1 + \binom{5}{2} x^{5-2}(-y)^2 + \binom{5}{3} x^{5-3}(-y)^3 + \binom{5}{4} x^{5-4}(-y)^4 + \binom{5}{5} x^{5-5}(-y)^5 \)
Simplificando obtenemos: \( x^5 – 5x^4y + 10x^3y^2 – 10x^2y^3 + 5xy^4 – y^5 \)
Ejercicios
Ejercicio 1:
Aplica el teorema del binomio para expandir \( (x+2y)^3 \)
Ver solución al ejercicio
De acuerdo con el teorema existen cuatro términos, estos son:
\( \binom{3}{0} x^{3-0}(2y)^0 = x^3 \),
\( \binom{3}{1} x^{3-1}(2y)^1 = 6x^2y \),
\( \binom{3}{2} x^{3-2}(2y)^2 = 24xy^2 \),
\( \binom{3}{3} x^{3-3}(2y)^3 = 8y^3 \).
Entonces, \( (x+2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 24xy^2 + 8y^3 \)
Ejercicio 2:
Aplica el teorema del binomio para expandir \( (2a – 3b)^4 \)
Ver solución al ejercicio
De acuerdo con el teorema existen cinco términos, estos son:
\( \binom{4}{0} (2a)^{4-0}(-3b)^0 = 16a^4 \),
\( \binom{4}{1} (2a)^{4-1}(-3b)^1 = -96a^3b \),
\( \binom{4}{2} (2a)^{4-2}(-3b)^2 = 216a^2b^2 \),
\( \binom{4}{3} (2a)^{4-3}(-3b)^3 = -216ab^3 \),
\( \binom{4}{4} (2a)^{4-4}(-3b)^4 = 81b^4 \).
Entonces, \( (2a – 3b)^4 = 16a^4 – 96a^3b + 216a^2b^2 – 216ab^3 + 81b^4 \)
Ejercicio 3:
Aplica el teorema del binomio para expandir \( (y – 2x)^2 \)
Ver solución al ejercicio
De acuerdo al teorema, existen tres términos, estos son:
\( \binom{2}{0} y^{2-0}(-2x)^0 = y^2 \),
\( \binom{2}{1} y^{2-1}(-2x)^1 = -4xy \),
\( \binom{2}{2} y^{2-2}(-2x)^2 = 4x^2 \).
Entonces, \( (y – 2x)^2 = y^2 – 4xy + 4x^2 \)