Las reglas de divisibilidad nos ayudan a determinar de manera rápida si un número es divisible entre otro sin la necesidad de realizar la división completa.
Por ejemplo, podemos decir que el número 304050 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es 12 (múltiplo de 3).
Un número a es divisible entre otro número b si la división \( \frac{a}{b} \) es exacta, es decir, el cociente es un entero y el resto es cero.
Decimos que b es un divisor de a y que a es un múltiplo de b.
Ejemplos de Divisibilidad
- El número 4 es divisible entre 2: \( \frac{4}{2} = 2 \)
- El número 15 es divisible por 3 y por 5: \( \frac{15}{3} = 5 \), \( \frac{15}{5} = 3 \)
- El número 12 es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Casos especiales y observaciones:
- Todo número es divisible entre 1 y entre sí mismo.
- El número 0 no es divisor de ningún número.
- Los divisores de 0 son todos los números excepto el 0.
Divisores y Múltiplos
Si n es un múltiplo de a, entonces existe un número entero m tal que \( n = a \times m \).
Ejemplo: Los números 2, 4, 8, 10, 12 y 14 son múltiplos de 2 porque son divisibles entre 2.
Descomposición en Números Primos
Esta lección es especialmente importante aprenderla bien, ya que nos será de muchísima utilidad para calcular el M.C.D. y m.c.m. que veremos más adelante y que nos permnitirán operar con fracciones.
Para descomponer un número en factores primos, dividimos sucesivamente el número entre los números primos hasta obtener como cociente el número uno.
A continuación un ejemplo de cómo descomponer un número:
Escribimos el número que queremos descomponer (lo vemos marcado en verde) y hacemos una raya vertical a su lado y buscamos el número primo más pequeño posible que pueda dividirlo de forma exacta (sin dejar resto), entonces el número resultante lo escribimos debajo y repetimos el proceso hasta que nos quede el 1.
| 648 | 2 |
| 324 | 2 |
| 162 | 2 |
| 81 | 3 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
De esta manera, obtenemos todos los números primos que lo componen en la parte derecha de la línea. Nos queda que: \( 648 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \) lo que es igual a: \( 648 = 2^3 \cdot 3^4 \)
Reglas de Divisibilidad
A continuación, enumeramos las principales reglas o criterios de divisibilidad:
Todo número es divisible entre 1.
Si termina en 0, 2, 4, 6, 8.
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Si sus dos últimas cifras son 00 o un múltiplo de 4.
Si termina en 0 o en 5.
Si es divisible entre 2 y entre 3.
Hay un método para determinar la divisibilidad por 7.
Si las tres últimas cifras forman un número divisible por 8.
Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
Si termina en 0.
Si la suma de las cifras en posiciones impares menos la suma de las cifras en posiciones pares es 0 o múltiplo de 11.
Si es divisible entre 3 y entre 4.
Hay un método para determinar la divisibilidad por 13.
Si es divisible entre 2 y entre 7.
Si es divisible entre 3 y entre 5.
Si las dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 25.
Si termina en 00.