¿Qué es la matriz inversa?
La matriz inversa de una matriz cuadrada \( A \), denotada como \( A^{-1} \), es la única matriz que cumple:
\[
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
\]
donde \( I \) es la matriz identidad del mismo orden.
Si \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \), entonces:
\[
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \quad (\text{Comprobación: } A \cdot A^{-1} = I).
\]
Condiciones para su existencia
- \( A \) debe ser cuadrada (\( n \times n \)).
- Su determinante debe ser no nulo (\( \det(A) \neq 0 \)).
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \) tiene \( \det(B) = 0 \), por lo que no es invertible.
Métodos de Cálculo
1. Para matrices 2×2 (Fórmula directa)
Si \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \), entonces:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\]
Para \( A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \):
\( \det(A) = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 10 \),
\( A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix} \).
2. Para matrices 3×3 (Adjunta)
Pasos:
- Calcular \( \det(A) \neq 0 \).
- Obtener la matriz de cofactores (\( C \)).
- Transponer \( C \) para obtener \( \text{Adj}(A) \).
- Dividir por \( \det(A) \): \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A) \).
Sea \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix} \):
– \( \det(A) = 14 \).
– Matriz de cofactores: \( C = \begin{bmatrix} -4 & -2 & 10 \\ 8 & -4 & -4 \\ -6 & 3 & 3 \end{bmatrix} \).
– \( A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} -4 & 8 & -6 \\ -2 & -4 & 3 \\ 10 & -4 & 3 \end{bmatrix} \).
Ejercicios Prácticos
Ejercicio 1 Fácil
Calcula la inversa de \( C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \).
Ver solución
\( \det(C) = (2)(4) – (-1)(3) = 11 \).
\( C^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \).
Ejercicio 2 Media
Encuentra \( A^{-1} \) para \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \).
Ver solución
\( \det(A) = 2 \).
Matriz de cofactores: \( C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix} \).
\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \).
Ejercicio 3 Media
Demuestra que \( B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) y \( B^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) son inversas.
Ver solución
Multiplica \( B \cdot B^{-1} \):
\( \begin{bmatrix} (2)(3)+(5)(-1) & (2)(-5)+(5)(2) \\ (1)(3)+(3)(-1) & (1)(-5)+(3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \).
Ejercicio 4 Difícil
Resuelve el sistema \( \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 4y = 10 \end{cases} \) usando la matriz inversa.
Ver solución
Sistema matricial: \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 10 \end{bmatrix} \).
\( A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \).
Solución: \( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} 4 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \).
Aplicaciones Reales
- Criptografía: Cifrado y descifrado de mensajes con matrices invertibles.
- Gráficos 3D: Transformaciones geométricas en videojuegos.
- Economía: Modelos de input-output en producción industrial.
Errores Comunes
- Intentar invertir matrices no cuadradas.
- No verificar \( \det(A) \neq 0 \).
- Confundir la matriz adjunta con la transpuesta.