Determinante de una matriz de orden 2
\[
\det(A) = ad – bc
\]
Ejemplo 2: Determinante de matriz 2×2
\[
A = \begin{bmatrix} 4 & 3\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = 4 \cdot 1 – 3 \cdot 2 = -2
\]
Determinante de una matriz de orden 3
Se puede calcular mediante la regla de Sarrus o por desarrollo por cofactores.
Regla de Sarrus
Es un método práctico para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden \( 3 \times 3 \). Para aplicarla, se repiten las dos primeras columnas de la matriz al lado derecho y se suman los productos de las diagonales principales y se restan los productos de las diagonales secundarias.
Sea la matriz:
\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\]
El determinante se calcula como:
\[
\det(A) =
a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}
– a_{13} a_{22} a_{31} – a_{11} a_{23} a_{32} – a_{12} a_{21} a_{33}
\]
Esto corresponde a:
- Suma: los productos de las tres diagonales que bajan de izquierda a derecha.
- Resta: los productos de las tres diagonales que bajan de derecha a izquierda.
Ejemplo: Regla de Sarrus
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 0 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\]
Aplicamos Sarrus:
\[
\det(A) = 1 \cdot 0 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 – (3 \cdot 0 \cdot 7 + 2 \cdot 4 \cdot 9 + 1 \cdot 6 \cdot 8) = 0 + 84 + 96 – (0 + 72 + 48) = 180 – 120 = 60
\]
Propiedades de los Determinantes
1. Si existe una fila (o columna) llena de ceros, su determinante es 0.
2. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) idénticas, su determinante es 0.
Ambas filas son iguales.
\( \det(B) = (3)(1) – (1)(3) = 3 – 3 = 0 \).
3. Al intercambiar dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
Si intercambiamos filas: \( B’ = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), \( \det(B’) = (2)(3) – (4)(1) = 2 \).
4. Si una línea (fila o columna) se multiplica por un escalar \(k\), el determinante queda multiplicado por \(k\).
Si multiplicamos la primera fila por 3: \( F’ = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \), \( \det(F’) = (3)(3) – (12)(2) = -15 = 3 \cdot (-5) \).
5. Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un escalar \(k\), el determinante no cambia. Esta propiedad es muy importante, pues será muy útil y la usaremos más adelante.
Sumamos \(2 \times F1\) a \(F2\): \( M’ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \).
\( \det(M’) = (1)(8) – (2)(5) = -2 \).
Nota: El determinante se preserva a pesar de la operación.
6. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta.
\( \det(A^T) = \det(A) \).
\( \det(D) = (1)(2) – (5)(3) = -13 \).
\( D^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \), \( \det(D^T) = (1)(2) – (3)(5) = -13 \).
7. En una matriz cuadrada de cualquier orden, si una fila (o columna) es múltiplo escalar de otra, el determinante es 0.
La segunda columna es el doble de la primera (\(4 = 2 \cdot 2\), \(2 = 2 \cdot 1\)).
\( \det(A) = (2)(2) – (4)(1) = 4 – 4 = 0 \).
8. Si una fila (o columna) es combinación lineal de otras, el determinante es 0.
La tercera fila es la suma de las dos primeras (\(1+4=5\), \(2+5=7\), \(3+6=9\)).
\( \det(C) = 0 \) (verificable por desarrollo por cofactores).
9. Dado \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \), para matrices cuadradas del mismo orden.
\( \det(A) = -2 \), \( \det(B) = -1 \).
\( AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \), \( \det(AB) = (2)(3) – (1)(4) = 2 \).
\( \det(A) \cdot \det(B) = (-2)(-1) = 2 \).
10. El determinante de una matriz triangular (con ceros en toda una parte inferior o superior) es el producto de los elementos de su diagonal.
\( \det(E) = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 \).
11. Si \(A\) tiene inversa (no todas las matrices tienen), entonces \( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \).
\( H^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \), \( \det(H^{-1}) = \frac{1}{6} \).
Ejercicios resueltos determinantes de matrices
Ejercicio 1 Fácil
Calcula el determinante de la matriz:
\[
\begin{bmatrix}
5 & 2\\
1 & 3
\end{bmatrix}
\]
Ver solución al ejercicio
Aplicamos la fórmula:
\[
\det = 5 \cdot 3 – 2 \cdot 1 = 15 – 2 = 13
\]
Ejercicio 1 Fácil
Calcula el determinante de la matriz usando la regla de Sarrus:
\[
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 2 \\
1 & 5 & 3
\end{bmatrix}
\]
Ver solución
\[
\begin{align*}
\det(A) &= (2\cdot4\cdot3) + (1\cdot2\cdot1) + (0\cdot3\cdot5) \\
&\quad – (0\cdot4\cdot1) – (2\cdot2\cdot5) – (1\cdot3\cdot3) \\
&= 24 + 2 + 0 – 0 – 20 – 9 = -3
\end{align*}
\]
Ejercicio 2 Media
Demuestra sin calcular que el determinante de esta matriz es 0:
\[
B = \begin{bmatrix}
4 & 12 & 8 \\
1 & 3 & 2 \\
2 & 6 & 4
\end{bmatrix}
\]
Ver solución
La primera fila es exactamente el doble de la tercera fila, además la tercera es el doble de la segunda.:
\( 2 \times \begin{bmatrix}2 & 6 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & 24 & 16\end{bmatrix} \) .
Por la propiedad de proporcionalidad, \(\det(B) = 0\).
Ejercicio 3 Media-Alta
Calcula el determinante aplicando propiedades (sin desarrollo directo):
\[
C = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}
\]
Ver solución
Es una matriz triangular superior. El determinante es el producto de la diagonal principal:
\[
\det(C) = 1 \times 4 \times 6 = 24
\]