Dos matrices \( A \) y \( B \) son equivalentes si pueden transformarse una en la otra mediante operaciones elementales de fila o columna. A continuación te lo mostramos.
Operaciones Elementales para Equivalencia
1. Intercambiar filas o columnas
Ejemplo: \( F_1 \leftrightarrow F_3 \) en \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \) resulta \( \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \).
Original: \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).
Tras \( C_1 \leftrightarrow C_2 \): \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
2. Multiplicar fila/columna por escalar no nulo
Ejemplo: \( F_2 \rightarrow 4F_2 \) aplicado a \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) da \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \).
\( C_3 \rightarrow -2C_3 \) en \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) produce \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).
3. Sumar una fila/columna a otra
Ejemplo: \( F_2 \rightarrow F_2 + F_1 \) en \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) resulta \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \).
\( C_2 \rightarrow C_2 + 3C_1 \) en \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) da \( \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \).
4. Añadir/Eliminar filas o columnas nulas
Ejemplo: Añadir fila nula a \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) para obtener \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).
¿Para qué nos puede ser de utilidad?
- Simplificación de sistemas de ecuaciones lineales.
- Cálculo del rango de una matriz.
- Transformaciones en gráficos computacionales.
Ejercicios matrices equivalentes
Ejercicio 1 Fácil
Aplica las operaciones \( F_2 \leftrightarrow F_3 \) y \( C_1 \rightarrow 2C_1 \) a:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}
\]
Ver solución
Tras \( F_2 \leftrightarrow F_3 \):
\[
\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
\]
Luego \( C_1 \rightarrow 2C_1 \):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}
\]
Ejercicio 2 Media
¿Son equivalentes estas matrices? Justifica.
\[
B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}
\]
Ver solución
Sí. Aplica \( F_1 \leftrightarrow F_2 \) a \( B \) para obtener \( C \).
Ejercicio 3 Media
Transforma \( D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) en \( I_2 \) usando operaciones elementales.
Ver solución
1. \( F_1 \leftrightarrow F_2 \): \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
Ejercicio 4 Fácil
Añade una columna nula a \( E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \). ¿Qué obtienes?
Ver solución
Tras añadir: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \).