Método 1: Resolver por sustitución
Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación con una sola incógnita.
Esta técnica es particularmente útil cuando una de las ecuaciones se puede resolver fácilmente por una de las incógnitas. Su mayor ventaja radica en su simplicidad para sistemas sencillos, pero puede volverse algo tedioso con ecuaciones más complejas.
- Seleccionamos una de las ecuaciones y despejamos una de las incógnitas.
- Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación del sistema.
- Resolvemos la ecuación resultante para encontrar el valor de una incógnita.
- Sustituimos el valor encontrado en la expresión despejada para hallar el valor de la otra incógnita.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\left\{
\begin{align*}
2x – 3y &= 7 \\
3x + y &= 11
\end{align*}
\right.
\]
1. Despejamos \( y \) en la segunda ecuación.
\( y = 11 – 3x \)
2. Sustituimos \( y \) en la primera ecuación y simplificamos.
\( 2x – 3(11 – 3x) = 7 \)
3. Expandimos y simplificamos la ecuación:
\( 2x – 33 + 9x = 7 \)
4. Combinamos los términos con \( x \):
\( 11x – 33 = 7 \)
5. Añadimos 33 a ambos lados de la ecuación:
\( 11x = 40 \)
6. Dividimos entre 11 para resolver y obtener el valor de \( x \):
\( x = \frac{40}{11} \)
7. Sustituimos el valor de \( x \) en la expresión despejada de \( y \):
\( y = 11 – 3\left(\frac{40}{11}\right) \)
8. Realizamos la operación para encontrar el valor de \( y \):
\( y = 11 – \frac{120}{11} \)
9. Calculamos el valor final de \( y \):
\( y = \frac{121 – 120}{11} \)
\( y = \frac{1}{11} \)
Método 2: Resolver por igualación
El método de igualación implica despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes. Este procedimiento convierte el sistema en una ecuación con una única incógnita, facilitando su resolución.
Es especialmente eficaz cuando las ecuaciones ya están dispuestas de manera que facilitan el despeje de la misma variable.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\left\{
\begin{align*}
x + 2y &= 5 \\
4x + 2y &= 14
\end{align*}
\right.
\]
1. Despejamos \( x \) en la primera ecuación.
\( x = 5 – 2y \)
2. Despejamos \( x \) en la segunda ecuación y simplificamos.
\( x = \frac{14 – 2y}{4} \)
3. Resolvemos por igualación en \( x \):
\( 5 – 2y = \frac{14 – 2y}{4} \)
4. Multiplicamos ambos lados por 4 para deshacernos del denominador:
\( 4(5 – 2y) = 14 – 2y \)
Expandimos y simplificamos la ecuación:
\( 20 – 8y = 14 – 2y \)
Transponemos los términos para aislar los términos con \( y \):
\( 20 – 14 = 8y – 2y \)
Combinamos términos semejantes y simplificamos la ecuación para encontrar \( y \):
\( 6 = 6y \)
Dividimos entre 6 para resolver y obtener el valor de \( y \):
\( y = \frac{6}{6} = 1 \)
Sustituimos el valor de \( y \) en la expresión despejada de \( x \):
\( x = 5 – 2(1) \)
Realizamos la resta para encontrar el valor de \( x \):
\( x = 5 – 2 \)
Obtenemos el valor final de \( x \):
\( x = 3 \)
Método 3: Resolver por eliminación
El método de eliminación, también conocido como el método de suma y resta, consiste en sumar o restar las ecuaciones del sistema de tal manera que una de las incógnitas se elimine.
Esto se logra multiplicando cada ecuación por un número adecuado antes de sumarlas o restarlas, si es necesario. Este método es particularmente útil en sistemas donde la manipulación algebraica directa permite simplificar y resolver de manera eficiente.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\left\{
\begin{align*}
3x – y &= 4 \\
6x + 2y &= -2
\end{align*}
\right.
\]
1. Multiplicamos la primera ecuación por 2 para igualar los coeficientes de \( y \).
\( 2(3x – y) = 2(4) \)
2. Simplificamos la ecuación multiplicada.
\( 6x – 2y = 8 \)
3. Sumamos la primera ecuación modificada y la segunda ecuación para eliminar \( y \).
\( 6x – 2y + 6x + 2y = 8 – 2 \)
4. Simplificamos la suma de las ecuaciones.
\( 12x = 6 \)
5. Resolvemos para \( x \) dividiendo ambos lados entre 12.
\( x = \frac{6}{12} \)
\( x = \frac{1}{2} \)
6. Sustituimos el valor de \( x \) en una de las ecuaciones originales para encontrar \( y \).
\( 3(\frac{1}{2}) – y = 4 \)
7. Resolvemos la ecuación para \( y \).
\( \frac{3}{2} – y = 4 \)
\( -y = \frac{5}{2} \)
\( y = -\frac{5}{2} \)
Los valores de las incógnitas que satisfacen el sistema dado son:
\( x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{5}{2} \)