Qué es una ecuación de primer grado
En una ecuación a las letras se les llaman incógnitas, y habitualmente utilizamos la x (pero podría ser otra).
Ecuaciones equivalentes
Ejemplos de Ecuaciones Equivalentes:
- \(2x = 18\) y \(4x = 36\)
- \(2x + 3 = x + 7\) y \(2x = x + 4\)
- \(x + \frac{x}{2} = 30\) y \(2x + x = 60\)
Se puede verificar que las soluciones para los pares de ecuaciones dados son respectivamente: \(x = 9\), \(x = 4\), y \(x = 20\).
Pasos para resolver ecuaciones de primer grado
- Eliminar paréntesis: Aplicar la propiedad distributiva para eliminar todos los parentesis.
Ejemplo: Dada la ecuación \( 2(x + 3) = x + 7 \), aplicamos la distribución para obtener \( 2x + 6 = x + 7 \).
- Simplificar términos semejantes: Combina términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
Ejemplo: De la ecuación anterior \( 2x + 6 = x + 7 \), pasamos \( x \) a la izquierda restando, nos queda \( x + 6 = 7 \). Luego pasamos el +6 al otro lado restando \( x = 7 – 6 \) Y nos queda \( x = 1 \)
- Despejar la variable: Operamos para dejar en un lado la variable.
Ejemplo: Si tenemos \( 3x = 9 \), dividimos ambos lados por 3 para obtener \( x = \frac{9}{3} \to x = 3 \)
Hemos pasado el 3 de un lado donde estaba multiplicando al otro donde pasa diviviendo.Hay que tener cuidado cuando movemos términos, en el caso de los factores que multiplican, para poder moverlos directamente al otro lado diviviendo, tenemos que asegurarnos de que afectan a toda la igualdad.
Si tienes dudas, lo mejor es que operes en ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad. Así lo verás mejor, tenemos \( 3x = 9 \)
\[ \frac{3x}{3} = \frac{9}{3} \quad \to \quad \frac{ \cancel{3} x}{ \cancel{3} } = \frac{9}{3} \quad \to \quad x = 3 \].Ejemplo: ESTO NO ES CORRECTO: \[ 3x + 1 = 9 \quad \neq \quad x + 1 = \frac{9}{3} \]
No puedes pasar la \( x \) al otro lado porque tiene un termino sumando junto él, y por lo tanto no estarías haciendo lo mismo en los dos lados de la igualdad. Esto es MUY IMPORTANTE. - Verificar la solución: Sustituye la variable encontrada en la ecuación original para verificar que la igualdad se cumple..
Ejemplo: Sustituyendo \( x = 3 \) en la ecuación original \( 2(x + 3) = x + 7 \), comprobamos que \( 2(3 + 3) = 3 + 7 \) se cumple.
Reglas de Transposición (mover términos de un lado a otro)
La transposición implica mover términos de un lado de la ecuación al otro, cambiando su signo, para aislar la variable y resolver la ecuación.
Pasos para la Transposición
- Mover términos con incógnita: Transfiere todos los términos con la incógnita a un lado de la igualdad.
Ejemplo: En la ecuación \( x – 3 = 2x + 4 \), transponemos \( 2x \) al lado izquierdo para obtener \( x – 2x = 4 + 3 \). - Mover términos constantes: Transfiere todos los términos constantes al lado opuesto de la incógnita.
Ejemplo: Continuamos con \( -x = 7 \) tras mover el -3 al otro lado como +3. - Despejar la incógnita: Realiza las operaciones necesarias para aislar la variable.
Ejemplo: Multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1 para obtener \( x = -7 \). - Transposición con Multiplicación: Cuando un término está multiplicando a la variable, para transponer este término dividimos ambos lados de la ecuación por el término.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación \( 4x = 20 \), dividimos ambos lados por 4 para obtener \( x = \frac{20}{4} \), simplificando a \( x = 5 \). - Transposición con Fracciones: Para transponer un término fraccionario, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador del término fraccionario.
Ejemplo: Dada la ecuación \( \frac{x}{5} = 3 \), multiplicamos ambos lados por 5 para eliminar el denominador y obtener \( x = 15 \).
Ejercicios de ecuaciones de primer grado simples
Ejercicio 1 Fácil
Resolver la ecuación de primer grado \( 2x + 3 = 7 \).
Ver solución al ejercicio
Para resolver la ecuación \( 2x + 3 = 7 \), primero trasladamos el 3 al otro lado de la igualdad para obtener \( 2x = 7 – 3 \). Luego simplificamos el lado derecho para obtener \( 2x = 4 \). Dividimos ambos lados de la ecuación por 2, resultando en \( x = 2 \), que es la solución de la ecuación.
Ejercicio 2 Fácil
Resolver la ecuación \( 5x – 3 = 2x + 4 \).
Ver solución al ejercicio
Primero, llevamos los términos con variables a un lado de la ecuación y los números al otro. Esto nos da \( 5x – 2x = 4 + 3 \). Simplificando, obtenemos \( 3x = 7 \). Dividimos ambos lados entre 3 para despejar \( x \), obteniendo \( x = \frac{7}{3} \) o \( x \approx 2.33 \). Al sustituir \( x \) en la ecuación original, comprobamos que la igualdad se satisface, por lo que \( x = \frac{7}{3} \) es la solución correcta.
Ejercicio 3 Fácil
Resolver la ecuación \( 6 – 2x = x – 4 \) mediante transposición.
Ver solución al ejercicio
Primero, transponemos \( 2x \) y \( x \) para tener todos los términos con \( x \) en un lado, obteniendo \( -2x – x = -4 – 6 \). Esto simplifica a \( -3x = -10 \). Por último, dividimos ambos lados por -3 para aislar \( x \), resultando en \( x = \frac{10}{3} \). Verificamos sustituyendo \( x \) en la ecuación original y confirmamos que la igualdad se cumple.