Elementos de un polígono:
- Vértices: Los puntos en los que dos lados de un polígono se encuentran.
- Lados: Los segmentos rectos que conectan dos vértices consecutivos.
- Ángulos internos: Los ángulos que se encuentran en el interior del polígono, en cada vértice.
- Diagonales: Segmentos de línea que conectan dos vértices no consecutivos dentro de un polígono. (líneas rojas)
- Perímetro: La suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
Clasificación de los polígonos:
- Regulares: Todos sus lados y ángulos internos son iguales.
- Irregulares: Sus lados y ángulos internos no son iguales.
- Convexos: Todos sus ángulos internos son menores de 180 grados.
- Cóncavos: Al menos un ángulo interno es mayor de 180 grados.
Polígonos Regulares
Pentágonos
El término pentágono proviene del griego «pente», que significa cinco, y «gonia», que significa ángulo. Por tanto, un pentágono es un polígono de cinco lados y cinco ángulos.
Hexágonos
El término hexágono tiene sus raíces en las palabras griegas «hex», que significa seis. Así, un hexágono es un polígono con seis lados y seis ángulos.
Octógonos
La palabra octógono se deriva de «octo», ocho en griego. Un octógono, por lo tanto, es un polígono que consta de ocho lados y ocho ángulos.
Perímetro de un polígono regular
Si tenemos un hexágono regular (polígono de seis lados) con lados de longitud \( l \), el perímetro \( P \) se calcula como:
\( P = 6 \times l \)
Área de un Polígono Regular
La fórmula para calcular el área \( A \) de un polígono regular es:
\[ A = \frac{n}{4} \cdot l^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \]
En esta fórmula, \( l \) es la longitud de un lado del pentágono y \( n \) el número de lados.
Como curiosidad, esta fórmula deriva de una más compleja que utiliza el hecho de que un polígono regular puede dividirse en triángulos isósceles congruentes, cada uno con un vértice en el centro del pentágono y la base como uno de los lados del pentágono. Utilizando relaciones trigonométricas y la proporción áurea (que está estrechamente relacionada con la geometría del pentágono), se llega a la fórmula dada para el área.
También se puede calcular sabiendo el radio de la circunferencia que abarca el polígono y su número de lados:
\[ A = \frac{n}{2} r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]
donde \( r \) es el radio de la circunferencia circunscrita y \( n \) es el número de lados del polígono.
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Calcular el área de un pentágono regular con un lado de 10 cm.
Ver solución al ejercicio
La fórmula para calcular el área \( A \) de un pentágono regular con lado \( l \) es:
\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} l^2 \]
Sustituyendo \( l = 10 \) cm, obtenemos:
\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{5(5+2\sqrt{5})} (10)^2 \approx 172.05 \, \text{cm}^2 \]
Ejercicio 2 Media
Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm.
Ver solución al ejercicio
Aplicamos la fórmula del área de un polígono regular usando el radio \( r \):
\[ A = \frac{n}{2} r^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]
\[ A = \frac{6}{2} (8)^2 \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) \]
\[ A = 3 \times 64 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
\[ A = 192 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ A \approx 166.28 \, \text{cm}^2 \]
Ejercicio 3 Difícil
Calcular el área de un octógono regular con un lado de 12 cm.
Ver solución al ejercicio
Utilizamos la fórmula que depende del número de lados y de la longitud de uno de ellos:
\[ A = \frac{1}{4}n l^2 \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \]
\[ A = \frac{1}{4} \times 8 \times (12)^2 \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \]
\[ A = 2 \times 144 \times \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \]
\[ A = 288 \times \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \]
\[ A \approx 482.84 \, \text{cm}^2 \]