Introducción a las ecuaciones logarítmicas
El logaritmo en base \( b \) de un número \( a \) se denota \( \log_b(a) \) y es igual al exponente \( c \) al cual se debe elevar la base \( b \) para obtener \( a \):
\[ \log_b(a) = c \iff b^c = a \]
Propiedades del logaritmo:
- Logaritmo del producto: \( \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \)
- Logaritmo del cociente: \( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y) \)
- Logaritmo de una potencia: \( \log_b(x^y) = y \cdot \log_b(x) \)
- Cambio de base: \( \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \)
Para resolver ecuaciones logarítmicas será necesario aplicar estas propiedades, para simplificar la ecuación y aislar la incógnita.
Nota: Es importante verificar que las soluciones encontradas no resulten en logaritmos de números negativos o cero, ya que estos no están definidos en los números reales.
Ejemplos para cada caso/propiedad
Producto
Ejemplo 1: Resolver la ecuación logarítmica \(\log_{2}(x) + \log_{2}(x-1) = 3\).
Aplicamos la propiedad del logaritmo del producto:
\[\log_{2}(x(x-1)) = 3\]
\[x(x-1) = 2^3\]
\[x^2 – x – 8 = 0\]
Resolvemos la ecuación cuadrática y obtenemos \(x = 4\) o \(x = -2\). Descartamos \(x = -2\) porque el logaritmo no está definido para números negativos.
Cociente
Ejemplo 2: Resolver la ecuación logarítmica \(\log(x) – \log(5) = 2\).
Aplicamos la propiedad del logaritmo del cociente:
\[\log\left(\frac{x}{5}\right) = 2\]
\[\frac{x}{5} = 10^2\]
\[x = 500\]
Potencia
Ejemplo 3: Resolver la ecuación logarítmica \(\log(x^2) = 3\).
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:
\[2\log(x) = 3\]
\[\log(x) = \frac{3}{2}\]
\[x = 10^{\frac{3}{2}}\]
\[x = \sqrt{1000}\]
Cambio de base
Ejemplo 4: Resolver la ecuación logarítmica \(\log_{3}(9) = x\).
Aplicamos la propiedad de cambio de base:
\[\frac{\log(9)}{\log(3)} = x\]
Ya que 9 es \(3^2\), el logaritmo se simplifica a:
\[x = \frac{2\log(3)}{\log(3)} = 2\]
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Resuelve la ecuación logarítmica \(\log_2(x) + \log_2(x – 2) = 3\).
Ver solución al ejercicio
La ecuación dada es una ecuación logarítmica que utiliza la propiedad del producto de logaritmos. Para resolverla, podemos combinar los términos logarítmicos en el lado izquierdo usando la propiedad del producto:
\(\log_2(x \cdot (x – 2)) = 3\)
Aplicando la definición de logaritmo, transformamos esta ecuación logarítmica en su forma exponencial:
\(2^3 = x \cdot (x – 2)\)
\(8 = x^2 – 2x\)
Moviendo todos los términos al mismo lado, tenemos:
\(x^2 – 2x – 8 = 0\)
Factorizando la ecuación cuadrática, obtenemos:
\((x – 4)(x + 2) = 0\)
Por lo tanto, \(x = 4\) o \(x = -2\). Sin embargo, debemos rechazar \(x = -2\) porque crearía un logaritmo de un número negativo en la ecuación original, lo cual no está definido. Así, la única solución es \(x = 4\).
Ejercicio 2 Media
Encuentra el valor de \( x \) en la ecuación \(\log_3(81) – \log_3(x) = 2\).
Ver solución al ejercicio
La ecuación logarítmica presentada aplica la propiedad del cociente, que establece que la diferencia de dos logaritmos con la misma base es igual al logaritmo del cociente de sus argumentos:
\(\log_3\left(\frac{81}{x}\right) = 2\)
Transformamos la ecuación logarítmica a su forma exponencial para resolver para \( x \):
\(3^2 = \frac{81}{x}\)
Esto se simplifica a:
\(9 = \frac{81}{x}\)
Despejamos \( x \):
\(x = \frac{81}{9}\)
\(x = 9\)
Por tanto, la solución a la ecuación logarítmica es \( x = 9 \).
Ejercicio 3 Fácil
Resuelve la ecuación logarítmica \(\log_{5}(x^2) = 3\).
Ver solución al ejercicio
Esta ecuación logarítmica puede resolverse aplicando la propiedad de la potencia, que nos dice que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:
\(2 \cdot \log_{5}(x) = 3\)
Dividimos ambos lados por 2 para aislar el logaritmo de \(x\):
\(\log_{5}(x) = \frac{3}{2}\)
Ahora convertimos esta ecuación logarítmica en su forma exponencial:
\(5^{\frac{3}{2}} = x\)
\(x = \sqrt{5^3}\)
\(x = \sqrt{125}\)
\(x = 5 \sqrt{5}\)
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 5 \sqrt{5} \).
Ejercicio 4 Media
Resuelve la ecuación logarítmica \(\log_{7}(x) = \log_{3}(81)\)
Ver solución al ejercicio
Para resolver esta ecuación logarítmica, primero cambiamos ambos logaritmos a una base común, que puede ser la base \(e\) (logaritmo natural) o la base 10 (logaritmo común). Utilizaremos la base \(e\):
\(\frac{\ln(x)}{\ln(7)} = \frac{\ln(81)}{\ln(3)}\)
Conocemos que \(81\) es \(3^4\), así que el logaritmo de \(81\) en base \(3\) es simplemente \(4\):
\(\frac{\ln(x)}{\ln(7)} = 4\)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\ln(7)\) para aislar \(\ln(x)\):
\(\ln(x) = 4 \cdot \ln(7)\)
Ahora aplicamos la función exponencial a ambos lados de la ecuación para deshacernos del logaritmo natural:
\(e^{\ln(x)} = e^{4 \cdot \ln(7)}\)
\(x = 7^4\)
\(x = 2401\)
La solución de la ecuación logarítmica es \( x = 2401 \).