Introducción a las ecuaciones exponenciales con logaritmos
En ocasiones necesitamos los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales que no tienen las mismas bases, como por ejemplo \(6^{x+1} = 2^x\).
En estos casos, aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación para utilizar la propiedad que nos permite «bajar» los exponentes y convertir la ecuación exponencial en una ecuación más manejable.
El proceso para resolver estas ecuaciones con logaritmos es así:
- Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación exponencial.
- Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación.
- Resolver la ecuación resultante para la incógnita.
\[\log(6^{x+1}) = \log(2^x)\]
Usando la propiedad del logaritmo de que \(\log(a^b) = b \cdot \log(a)\), podemos reescribir la ecuación como:
\[(x+1) \cdot \log(6) = x \cdot \log(2)\]
Ahora, podemos resolver para \(x\) como en cualquier ecuación algebraica.
Definición y propiedades de los logaritmos
El logaritmo en base b de un número positivo a se denota por log_b(a) y su valor es el número c al que se debe elevar la base del logaritmo, b, para obtener el número a. Esto es:
\[ \log_b(a) = c \leftrightarrow b^c = a \]
Las propiedades de los logaritmos son fundamentales para resolver ecuaciones exponenciales:
- Producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos:
- Cociente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:
- Potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
- Cambio de base: Es posible cambiar la base de un logaritmo usando la siguiente fórmula:
\[ \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \]
\[ \log_b\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) – \log_b(c) \]
\[ \log_b(a^c) = c \cdot \log_b(a) \]
\[ \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \]
Utilizando estas propiedades, podemos transformar las ecuaciones exponenciales en ecuaciones más simples que involucran logaritmos y sus operaciones básicas.
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Resuelve la ecuación exponencial \( 2^x = 16 \).
Ver solución al ejercicio
Para resolver la ecuación, podemos aplicar logaritmos. Dado que \( 16 = 2^4 \), la ecuación puede reescribirse como:
\[ 2^x = 2^4 \]
Por tanto, por la propiedad de igualdad de las potencias, tenemos \( x = 4 \).
Ejercicio 2 Media
Resuelve la ecuación exponencial \( 3^{x+1} = 27 \).
Ver solución al ejercicio
Primero identificamos que \( 27 = 3^3 \). Entonces, aplicando logaritmos, tenemos:
\[ 3^{x+1} = 3^3 \]
Esto nos lleva a que \( x+1 = 3 \), y por tanto \( x = 2 \).
Ejercicio 3 Media
Resuelve la ecuación exponencial \( 5^{2x} = 125 \).
Ver solución al ejercicio
Notamos que \( 125 = 5^3 \). Aplicamos logaritmos para resolver:
\[ 5^{2x} = 5^3 \]
De donde obtenemos que \( 2x = 3 \), y por tanto \( x = \frac{3}{2} \).
Ejercicio 4 Difícil
Resuelve la ecuación exponencial \( 4^x = 2^{x+2} \).
Ver solución al ejercicio
Reconocemos que \( 4 = 2^2 \), así que podemos escribir:
\[ (2^2)^x = 2^{x+2} \]
Esto se simplifica a \( 2^{2x} = 2^{x+2} \), y por la igualdad de potencias tenemos \( 2x = x + 2 \), lo que nos da \( x = 2 \).
Ejercicio 5 Difícil
Resuelve la ecuación exponencial \( 7^{x} = 49 \).
Ver solución al ejercicio
Como \( 49 = 7^2 \), la ecuación se convierte en:
\[ 7^{x} = 7^2 \]
Aplicando la propiedad de igualdad de las potencias, resulta \( x = 2 \).