Introducción a las Fracciones
Las fracciones representan partes de un todo y, al igual que los números enteros, pueden sumarse y restarse. Por ejemplo, medio pastel más un cuarto de pastel conforman tres cuartos de pastel.
Consideremos dos fracciones de pizza:
\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
La unión de estas fracciones nos da media pizza.
Note que \( \frac{2}{4} \) se simplifica a \( \frac{1}{2} \), ya que dividir 2 entre 4 nos da 0.5, lo que es equivalente a la mitad.
Al sumar o restar fracciones, es esencial recordar que el numerador es el número situado sobre la línea de la fracción y el denominador es el que está debajo de esta. Así, en la fracción \( \frac{3}{4} \),
- \( 3 \) es el numerador,
- \( 4 \) es el denominador.
Para la suma y resta de fracciones, es fundamental tener denominadores comunes para combinarlas correctamente.
Fracciones con Denominador Común
Sumar o restar fracciones con el mismo denominador es un proceso directo: combinamos los numeradores y mantenemos el denominador común.
Para la suma de fracciones como \( \frac{a}{d} \) y \( \frac{b}{d} \), el resultado es \( \frac{a + b}{d} \).
Para la resta, el proceso es similar: \( \frac{a}{d} – \frac{b}{d} \) resulta en \( \frac{a – b}{d} \).
Ejemplo:
Consideremos la suma de \( \frac{3}{5} \) y \( \frac{2}{5} \):
\[ \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]
Por lo tanto, la suma de estas fracciones es igual a 1 entero.
Y para la resta de \( \frac{4}{5} \) menos \( \frac{1}{5} \):
\[ \frac{4}{5} – \frac{1}{5} = \frac{4 – 1}{5} = \frac{3}{5} \]
Así, al restar estos dos valores, obtenemos \( \frac{3}{5} \).
Este método solo es aplicable cuando las fracciones tienen el mismo denominador. Cuando los denominadores son diferentes, primero necesitamos encontrar un denominador común antes de sumar o restar los numeradores.
Fracciones con distinto Denominador
Al trabajar con fracciones que tienen denominadores diferentes, necesitamos encontrar un denominador común antes de sumar o restar los numeradores.
Existen varios métodos para sumar o restar fracciones con denominadores distintos:
Método 1: Uso del mínimo común múltiplo (MCM)
Este método consiste en encontrar el MCM de los denominadores y utilizarlo como el denominador común:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot (\text{MCM} / b) + c \cdot (\text{MCM} / d)}{\text{MCM}} \]
Por ejemplo, para sumar \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{1}{6} \), primero encontramos el MCM de 3 y 6, que es 6, y luego sumamos:
\[ \frac{1 \cdot (6 / 3) + 1 \cdot (6 / 6)}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Método 2: Multiplicación cruzada
Este método implica multiplicar el numerador de cada fracción por el denominador de la otra fracción:
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \]
Por ejemplo, para sumar \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{1}{6} \), hacemos lo siguiente:
\[ \frac{1 \cdot 6 + 1 \cdot 3}{3 \cdot 6} = \frac{6 + 3}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \]
Para la resta de fracciones, el procedimiento es similar, solo que en lugar de sumar los resultados de las multiplicaciones cruzadas, los restamos.
Cuando trabajamos con fracciones, es importante simplificar el resultado final para obtener la fracción más reducida posible.
Ejercicios
Ejercicio 1 Fácil
Suma las siguientes fracciones: \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{2}{3} \).
Ver solución al ejercicio
Para sumar las fracciones, primero encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores, que en este caso es 12. Luego convertimos cada fracción al mismo denominador y sumamos:
\[ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \]
La suma de \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{2}{3} \) es \( \frac{11}{12} \).
Ejercicio 2 Fácil
Resta \( \frac{5}{6} \) de \( \frac{3}{4} \).
Ver solución al ejercicio
Buscamos el mínimo común múltiplo de 4 y 6, que es 12. Convertimos las fracciones y realizamos la resta:
\[ \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} – \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} – \frac{10}{12} = \frac{-1}{12} \]
Por lo tanto, al restar \( \frac{5}{6} \) de \( \frac{3}{4} \) obtenemos \( \frac{-1}{12} \), o simplemente \( -\frac{1}{12} \).
Ejercicio 3 Fácil
Encuentra el resultado de sumar \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{3}{7} \).
Ver solución al ejercicio
El mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 35. Procedemos a sumar las fracciones:
\[ \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{29}{35} \]
La suma de \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{3}{7} \) resulta en \( \frac{29}{35} \).