1.1 Introducción a las Matrices

Una matriz de orden \( m \times n \) tiene m filas y n columnas. Cada elemento se identifica mediante su posición \( a_{ij} \), donde \( i \) es la fila y \( j \) la columna.

Matriz A de orden \( 2 \times 3 \)

\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}
\]

Tipos de Matrices

Operaciones con Matrices

• Suma y resta

  Solo se pueden realizar si las matrices tienen el mismo orden. Se suman o restan los elementos correspondientes: \( C = A \pm B \Rightarrow c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} \)

  Ejemplo de Suma y resta de matrices
  Sean las matrices:
  \[
  A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2\\ 0 & 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad
  B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -3 & 1 & 1 \end{bmatrix}
  \]

  Suma:

  \[
  A + B = \begin{bmatrix}
  3+1 & -1+2 & 2+0\\
  0+(-3) & 4+1 & 5+1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
  4 & 1 & 2\\
  -3 & 5 & 6
  \end{bmatrix}
  \]

  Resta:

  \[
  A – B = \begin{bmatrix}
  3-1 & -1-2 & 2-0\\
  0-(-3) & 4-1 & 5-1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
  2 & -3 & 2\\
  3 & 3 & 4
  \end{bmatrix}
  \]

• Producto por un escalar

  Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar: \( (k \cdot A)_{ij} = k \cdot a_{ij} \)

• Producto de matrices

  Solo es posible si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El resultado es una nueva matriz cuyos elementos se calculan como:

  Sea la matriz \( A \) de orden \( 2 \times 3 \) y la matriz \( B \) de orden \( 3 \times 2 \):

  \[
  A = \begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23}
  \end{bmatrix}, \quad
  B = \begin{bmatrix}
  b_{11} & b_{12} \\
  b_{21} & b_{22} \\
  b_{31} & b_{32}
  \end{bmatrix}
  \]

  El producto \( C = A \cdot B \) será una matriz de orden \( 2 \times 2 \), cuyos elementos se calculan así:

  \[
  C = \begin{bmatrix}
  c_{11} & c_{12} \\
  c_{21} & c_{22}
  \end{bmatrix}
  \]

  donde:

  • \( c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} \)
  • \( c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \)
  • \( c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} \)
  • \( c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \)

  Este procedimiento se basa en la suma de productos de las filas de \( A \) por las columnas de \( B \).

  Ejemplo: Producto de matrices
  Sean las matrices:
  \[
  A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 3\end{bmatrix}
  \]
  Entonces:
  \[
  AB = \begin{bmatrix}
  1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3\\
  3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
  4 & 6\\
  10 & 12
  \end{bmatrix}
  \]

• Matriz transpuesta

  Se obtiene al intercambiar filas por columnas: \( (A^T)_{ij} = a_{ji} \)

  Ejemplo: Matriz transpuesta

  Sea la matriz:
  \[
  A = \begin{bmatrix}
  4 & -2 & 1\\
  0 & 3 & 5
  \end{bmatrix}
  \]

  La matriz transpuesta de \( A \), denotada por \( A^T \), se obtiene intercambiando filas por columnas:

  \[
  A^T = \begin{bmatrix}
  4 & 0\\
  -2 & 3\\
  1 & 5
  \end{bmatrix}
  \]

Inversa de una matriz 2×2

Ejercicios